05.02.202127.05.2017

Secondo il libro di testo di Sovetov e Yakovlev: "un modello (lat. modulo - misura) è un oggetto sostitutivo dell'oggetto originale, che garantisce lo studio di alcune proprietà dell'originale". (p. 6) "La sostituzione di un oggetto con un altro per ottenere informazioni sulle proprietà più importanti dell'oggetto originale utilizzando un oggetto modello si chiama modellazione." (p. 6) “Per modellazione matematica intendiamo il processo di stabilire una corrispondenza di un dato oggetto reale con un certo oggetto matematico, chiamato modello matematico, e lo studio di questo modello, che ci permette di ottenere le caratteristiche del reale oggetto in esame. Il tipo di modello matematico dipende sia dalla natura dell’oggetto reale, sia dai compiti di studio dell’oggetto, sia dall’affidabilità e dall’accuratezza richieste per risolvere questo problema”.

Infine, la definizione più concisa di modello matematico: "Un'equazione che esprime un'idea».

Classificazione dei modelli

Classificazione formale dei modelli

La classificazione formale dei modelli si basa sulla classificazione degli strumenti matematici utilizzati. Spesso costruiti sotto forma di dicotomie. Ad esempio, uno dei popolari insiemi di dicotomie:

e così via. Ogni modello costruito è lineare o non lineare, deterministico o stocastico,... Naturalmente sono possibili anche tipologie miste: concentrato in un aspetto (in termini di parametri), distribuito in un altro, ecc.

Classificazione in base al modo in cui l'oggetto è rappresentato

Oltre alla classificazione formale, i modelli differiscono nel modo in cui rappresentano un oggetto:

Modelli strutturali o funzionali

Modelli strutturali rappresentare un oggetto come un sistema con una propria struttura e meccanismo di funzionamento. Modelli funzionali non utilizzare tali rappresentazioni e riflettono solo il comportamento (funzionamento) percepito esternamente dell'oggetto. Nella loro espressione estrema vengono anche definiti modelli “black box”. Sono possibili anche tipi combinati di modelli, talvolta chiamati “ scatola grigia».

Contenuti e modelli formali

Quasi tutti gli autori che descrivono il processo di modellazione matematica indicano che prima viene costruita una struttura ideale speciale, modello di contenuto. Non esiste una terminologia stabilita qui e altri autori chiamano questo oggetto ideale modello concettuale , modello speculativo O premodello. In questo caso, viene chiamata la costruzione matematica finale modello formale o semplicemente un modello matematico ottenuto come risultato della formalizzazione di un dato modello significativo (pre-modello). La costruzione di un modello significativo può essere effettuata utilizzando una serie di idealizzazioni già pronte, come in meccanica, dove molle ideali, corpi rigidi, pendoli ideali, mezzi elastici, ecc. forniscono elementi strutturali già pronti per una modellazione significativa. Tuttavia, nelle aree della conoscenza in cui non esistono teorie formalizzate completamente complete (le aree all’avanguardia della fisica, della biologia, dell’economia, della sociologia, della psicologia e della maggior parte delle altre aree), la creazione di modelli significativi diventa drammaticamente più difficile.

Classificazione del contenuto dei modelli

Nessuna ipotesi scientifica può essere dimostrata una volta per tutte. Richard Feynman lo ha formulato molto chiaramente:

“Abbiamo sempre l’opportunità di confutare una teoria, ma tieni presente che non potremo mai dimostrare che sia corretta. Supponiamo che tu abbia avanzato un'ipotesi vincente, calcolato dove porta e scoperto che tutte le sue conseguenze sono confermate sperimentalmente. Questo significa che la tua teoria è corretta? No, significa semplicemente che non sei riuscito a confutarlo.

Se si costruisce un modello del primo tipo, ciò significa che esso viene temporaneamente accettato come verità e ci si può concentrare su altri problemi. Questo però non può essere un punto di ricerca, ma solo una pausa temporanea: lo status di un modello del primo tipo non può che essere temporaneo.

Tipo 2: Modello fenomenologico (ci comportiamo come se…)

Un modello fenomenologico contiene un meccanismo per descrivere un fenomeno. Tuttavia, questo meccanismo non è abbastanza convincente, non può essere sufficientemente confermato dai dati disponibili o non si adatta bene alle teorie esistenti e alle conoscenze accumulate sull’oggetto. Pertanto, i modelli fenomenologici hanno lo status di soluzioni temporanee. Si ritiene che la risposta sia ancora sconosciuta e che la ricerca dei “veri meccanismi” debba continuare. Peierls include, ad esempio, il modello calorico e il modello a quark delle particelle elementari come secondo tipo.

Il ruolo del modello nella ricerca può cambiare nel tempo e può accadere che nuovi dati e teorie confermino modelli fenomenologici e siano promossi allo status di ipotesi. Allo stesso modo, le nuove conoscenze possono progressivamente entrare in conflitto con modelli-ipotesi del primo tipo, e possono essere tradotti nel secondo. Pertanto, il modello a quark si sta gradualmente spostando nella categoria delle ipotesi; L'atomismo in fisica è nato come soluzione temporanea, ma con il corso della storia è diventato il primo tipo. Ma i modelli eterei si sono fatti strada dal tipo 1 al tipo 2 e ora sono fuori dalla scienza.

L'idea di semplificazione è molto popolare quando si costruiscono modelli. Ma la semplificazione arriva in forme diverse. Peierls identifica tre tipi di semplificazioni nella modellazione.

Tipo 3: Approssimazione (consideriamo qualcosa di molto grande o molto piccolo)

Se è possibile costruire equazioni che descrivono il sistema studiato, ciò non significa che possano essere risolte anche con l'ausilio di un computer. Una tecnica comune in questo caso è l'uso di approssimazioni (modelli di tipo 3). Tra loro modelli di risposta lineare. Le equazioni sono sostituite da quelle lineari. Un esempio standard è la legge di Ohm.

Ecco il Tipo 8, molto diffuso nei modelli matematici dei sistemi biologici.

Tipo 8: Dimostrazione delle funzionalità (l'importante è mostrare la coerenza interna della possibilità)

Anche questi sono esperimenti mentali con entità immaginarie che lo dimostrano presunto fenomeno coerente con i principi fondamentali e internamente coerente. Questa è la principale differenza rispetto ai modelli di tipo 7, che rivelano contraddizioni nascoste.

Uno dei più famosi di questi esperimenti è la geometria di Lobachevskij (Lobachevskij la chiamava “geometria immaginaria”). Un altro esempio è la produzione di massa di modelli formalmente cinetici di vibrazioni chimiche e biologiche, autoonde, ecc. Il paradosso di Einstein-Podolsky-Rosen è stato concepito come un modello di tipo 7 per dimostrare l'incoerenza della meccanica quantistica. In modo del tutto non pianificato, alla fine si trasformò in un modello di tipo 8, una dimostrazione della possibilità del teletrasporto quantistico delle informazioni.

Esempio

Consideriamo un sistema meccanico costituito da una molla, fissata ad un'estremità, e una massa , fissata all'estremità libera della molla. Assumeremo che il carico possa muoversi solo nella direzione dell'asse della molla (ad esempio, il movimento avviene lungo l'asta). Costruiamo un modello matematico di questo sistema. Descriveremo lo stato del sistema in base alla distanza dal centro del carico alla sua posizione di equilibrio. Descriviamo l'interazione tra la molla e il carico utilizzando La legge di Hooke() e quindi utilizzare la seconda legge di Newton per esprimerla sotto forma di un'equazione differenziale:

dove significa la derivata seconda di rispetto al tempo: .

L'equazione risultante descrive il modello matematico del sistema fisico considerato. Questo modello è chiamato "oscillatore armonico".

Secondo la classificazione formale, questo modello è lineare, deterministico, dinamico, concentrato, continuo. Nel processo di costruzione, abbiamo fatto molte ipotesi (sull'assenza di forze esterne, sull'assenza di attrito, sulla piccolezza delle deviazioni, ecc.), che in realtà potrebbero non essere soddisfatte.

In relazione alla realtà, questo è molto spesso un modello di tipo 4 semplificazione(“ometteremo alcuni dettagli per chiarezza”), poiché alcune caratteristiche universali essenziali (ad esempio, la dissipazione) vengono omesse. Con una certa approssimazione (ad esempio, mentre la deviazione del carico dall'equilibrio è piccola, con basso attrito, per un tempo non eccessivo e soggetta a determinate altre condizioni), un modello di questo tipo descrive abbastanza bene un sistema meccanico reale, poiché i fattori scartati hanno un effetto trascurabile sul suo comportamento. Tuttavia, il modello può essere perfezionato tenendo conto di alcuni di questi fattori. Ciò porterà a un nuovo modello, con un ambito di applicabilità più ampio (anche se ancora limitato).

Tuttavia, quando si perfeziona il modello, la complessità della ricerca matematica può aumentare in modo significativo e rendere il modello praticamente inutile. Spesso un modello più semplice consente un’esplorazione migliore e più approfondita di un sistema reale rispetto a uno più complesso (e, formalmente, “più corretto”).

Se applichiamo il modello dell’oscillatore armonico a oggetti lontani dalla fisica, il suo status sostanziale potrebbe essere diverso. Ad esempio, quando si applica questo modello alle popolazioni biologiche, molto probabilmente dovrebbe essere classificato come tipo 6 analogia(“prendiamo in considerazione solo alcune caratteristiche”).

Modelli duri e morbidi

L’oscillatore armonico è un esempio del cosiddetto modello “hard”. Si ottiene come risultato di una forte idealizzazione di un sistema fisico reale. Per risolvere il problema della sua applicabilità è necessario comprendere quanto siano significativi i fattori che abbiamo trascurato. In altre parole è necessario studiare il modello “soft”, che si ottiene con una piccola perturbazione di quello “hard”. Può essere data, ad esempio, dalla seguente equazione:

Ecco una funzione che può tenere conto della forza di attrito o della dipendenza del coefficiente di rigidità della molla dal grado del suo allungamento - qualche piccolo parametro. Al momento non siamo interessati alla forma esplicita della funzione. Se dimostriamo che il comportamento del modello soft non è fondamentalmente diverso dal comportamento di quello hard (indipendentemente dal tipo esplicito dei fattori perturbanti, se sono sufficientemente piccoli), il problema si ridurrà allo studio del modello hard. Altrimenti, l'applicazione dei risultati ottenuti dallo studio del modello rigido richiederà ulteriori ricerche. Ad esempio, la soluzione dell'equazione di un oscillatore armonico sono funzioni della forma , cioè oscillazioni con ampiezza costante. Ne consegue che un oscillatore reale oscillerà indefinitamente con un'ampiezza costante? No, perché considerando un sistema con attrito arbitrariamente piccolo (sempre presente in un sistema reale), si ottengono oscillazioni smorzate. Il comportamento del sistema è cambiato qualitativamente.

Se un sistema mantiene il suo comportamento qualitativo anche in presenza di piccoli disturbi, si dice che sia strutturalmente stabile. Un oscillatore armonico è un esempio di sistema strutturalmente instabile (non ruvido). Tuttavia, questo modello può essere utilizzato per studiare processi su periodi di tempo limitati.

Versatilità dei modelli

I modelli matematici più importanti di solito hanno la proprietà importante versatilità: Fenomeni reali fondamentalmente diversi possono essere descritti dallo stesso modello matematico. Ad esempio, un oscillatore armonico descrive non solo il comportamento di un carico su una molla, ma anche altri processi oscillatori, spesso di natura completamente diversa: piccole oscillazioni del pendolo, fluttuazioni del livello di un liquido in un recipiente a forma di A o un cambiamento nell'intensità della corrente in un circuito oscillatorio. Pertanto, studiando un modello matematico, studiamo immediatamente un'intera classe di fenomeni da esso descritti. È questo isomorfismo delle leggi espresse dai modelli matematici in vari segmenti della conoscenza scientifica che ha ispirato Ludwig von Bertalanffy a creare la “Teoria generale dei sistemi”.

Problemi diretti e inversi di modellizzazione matematica

Ci sono molti problemi associati alla modellazione matematica. Per prima cosa devi elaborare uno schema di base dell'oggetto modellato, riprodurlo nel quadro delle idealizzazioni di questa scienza. Pertanto, un vagone ferroviario si trasforma in un sistema di piastre e corpi più complessi realizzati con materiali diversi, ciascun materiale viene specificato come la sua idealizzazione meccanica standard (densità, moduli elastici, caratteristiche di resistenza standard), dopo di che vengono redatte le equazioni e lungo il percorso si scartano alcuni dettagli perché non importanti, si fanno calcoli, si confrontano con misurazioni, si affina il modello, e così via. Tuttavia, per sviluppare tecnologie di modellazione matematica, è utile scomporre questo processo nelle sue componenti principali.

Tradizionalmente, esistono due classi principali di problemi associati ai modelli matematici: diretti e inversi.

Compito diretto: la struttura del modello e tutti i suoi parametri sono considerati noti, il compito principale è condurre uno studio del modello per estrarre conoscenze utili sull'oggetto. Quale carico statico potrà sopportare il ponte? Come reagirà a un carico dinamico (ad esempio, alla marcia di una compagnia di soldati, o al passaggio di un treno a velocità diverse), come l'aereo supererà la barriera del suono, se cadrà a pezzi per sbattimento - questi sono esempi tipici di un problema diretto. Impostare il giusto problema diretto (porre la domanda giusta) richiede abilità speciali. Se non vengono poste le domande giuste, un ponte potrebbe crollare, anche se è stato costruito un buon modello per il suo comportamento. Così, nel 1879, in Gran Bretagna crollò un ponte di metallo sul fiume Tay, i cui progettisti costruirono un modello del ponte, calcolarono che avesse un fattore di sicurezza 20 volte superiore per l'azione del carico utile, ma si dimenticarono dei venti soffia costantemente in quei luoghi. E dopo un anno e mezzo è crollato.

Nel caso più semplice (ad esempio un'equazione dell'oscillatore), il problema diretto è molto semplice e si riduce ad una soluzione esplicita di questa equazione.

Problema inverso: sono noti molti modelli possibili, è necessario selezionare un modello specifico in base a dati aggiuntivi sull'oggetto. Nella maggior parte dei casi, la struttura del modello è nota e occorre determinare alcuni parametri sconosciuti. Ulteriori informazioni possono consistere in dati empirici aggiuntivi o requisiti per l'oggetto ( problema di progettazione). Ulteriori dati possono arrivare indipendentemente dal processo di risoluzione del problema inverso ( osservazione passiva) o essere il risultato di un esperimento appositamente pianificato durante la soluzione ( sorveglianza attiva).

Uno dei primi esempi di soluzione magistrale al problema inverso con il massimo utilizzo dei dati disponibili fu il metodo ideato da I. Newton per ricostruire le forze di attrito dalle oscillazioni smorzate osservate.

Un altro esempio è la statistica matematica. Il compito di questa scienza è quello di sviluppare metodi per registrare, descrivere e analizzare dati osservativi e sperimentali al fine di costruire modelli probabilistici di fenomeni casuali di massa. Quelli. l'insieme dei modelli possibili è limitato ai modelli probabilistici. In compiti specifici, l'insieme di modelli è più limitato.

Sistemi di simulazione al computer

Per supportare la modellazione matematica, sono stati sviluppati sistemi di matematica informatica, ad esempio Maple, Mathematica, Mathcad, MATLAB, VisSim, ecc. Consentono di creare modelli formali e a blocchi di processi e dispositivi sia semplici che complessi e di modificare facilmente i parametri del modello durante modellazione. Modelli a blocchi sono rappresentati da blocchi (molto spesso grafici), il cui insieme e connessione sono specificati dal diagramma del modello.

Ulteriori esempi

Il modello di Malthus

Il tasso di crescita è proporzionale alla dimensione attuale della popolazione. È descritto dall'equazione differenziale

dove è un certo parametro determinato dalla differenza tra il tasso di natalità e il tasso di mortalità. La soluzione di questa equazione è una funzione esponenziale. Se il tasso di natalità supera il tasso di mortalità (), la dimensione della popolazione aumenta indefinitamente e molto rapidamente. È chiaro che in realtà ciò non può avvenire a causa delle risorse limitate. Quando viene raggiunta una certa dimensione critica della popolazione, il modello cessa di essere adeguato, poiché non tiene conto delle risorse limitate. Un perfezionamento del modello di Malthus può essere un modello logistico, descritto dall'equazione differenziale di Verhulst

dove è la dimensione “di equilibrio” della popolazione, alla quale il tasso di natalità è esattamente compensato dal tasso di mortalità. La dimensione della popolazione in tale modello tende ad un valore di equilibrio e questo comportamento è strutturalmente stabile.

Sistema predatore-preda

Diciamo che in una certa zona vivono due tipi di animali: i conigli (che mangiano piante) e le volpi (che mangiano conigli). Lasciamo il numero dei conigli, il numero delle volpi. Utilizzando il modello di Malthus con le modifiche necessarie per tenere conto del consumo di conigli da parte delle volpi, arriviamo al seguente sistema, denominato modelli Vassoi - Volterra:

Questo sistema ha uno stato di equilibrio quando il numero di conigli e volpi è costante. La deviazione da questo stato provoca fluttuazioni nel numero di conigli e volpi, simili alle fluttuazioni di un oscillatore armonico. Come nel caso dell'oscillatore armonico, questo comportamento non è strutturalmente stabile: un piccolo cambiamento nel modello (tenendo conto, ad esempio, delle risorse limitate richieste dai conigli) può portare a un cambiamento qualitativo nel comportamento. Ad esempio, lo stato di equilibrio potrebbe diventare stabile e le fluttuazioni nei numeri si estingueranno. È possibile anche la situazione opposta, quando ogni piccola deviazione dalla posizione di equilibrio porterà a conseguenze catastrofiche, fino alla completa estinzione di una delle specie. Il modello Volterra-Lotka non risponde alla domanda su quale di questi scenari si stia realizzando: qui sono necessarie ulteriori ricerche.

Appunti

“Una rappresentazione matematica della realtà” (Enciclopedia Britanica)
Novik I.B., Su questioni filosofiche della modellazione cibernetica. M., La conoscenza, 1964.
Sovetov B. Ya., Yakovlev S. A., Modellazione dei sistemi: Proc. per le università - 3a ed., riveduta. e aggiuntivi - M.: Più in alto. scuola, 2001. - 343 p. ISBN 5-06-003860-2
Samarsky A. A., Mikhailov A. P. Modellazione matematica. Idee. Metodi. Esempi. - 2a ed., riv. - M.: Fizmatlit, 2001. - ISBN 5-9221-0120-X
Myshkis A.D., Elementi di teoria dei modelli matematici. - 3a ed., riv. - M.: KomKniga, 2007. - 192 con ISBN 978-5-484-00953-4
Sevostjanov, A.G. Modellazione dei processi tecnologici: libro di testo / A.G. Sevostyanov, P.A. Sevostjanov. – M.: Industria leggera e alimentare, 1984. - 344 p.
Wikizionario: modello matematico
CliffsNotes.com. Glossario delle scienze della Terra. 20 settembre 2010
Model Reduction and Coarse-Graining Approaches for Multiscale Phenomena, Springer, Complexity series, Berlino-Heidelberg-New York, 2006. XII+562 pp. ISBN 3-540-35885-4
“Una teoria è considerata lineare o non lineare a seconda del tipo di apparato matematico – lineare o non lineare – e del tipo di modelli matematici lineari o non lineari che utilizza. ...senza negare quest'ultima. Un fisico moderno, se dovesse ricreare la definizione di un’entità così importante come la nonlinearità, molto probabilmente si comporterebbe diversamente e, privilegiando la nonlinearità come il più importante e diffuso dei due opposti, definirebbe la linearità come “non non linearità." Danilov Yu.A., Lezioni sulla dinamica non lineare. Introduzione elementare. Collana “Sinergetica: dal passato al futuro”. Edizione 2. - M.: URSS, 2006. - 208 p. ISBN 5-484-00183-8
“I sistemi dinamici modellati da un numero finito di equazioni differenziali ordinarie sono chiamati sistemi concentrati o puntuali. Sono descritti utilizzando uno spazio delle fasi a dimensione finita e sono caratterizzati da un numero finito di gradi di libertà. Lo stesso sistema in condizioni diverse può essere considerato concentrato o distribuito. I modelli matematici dei sistemi distribuiti sono equazioni alle derivate parziali, equazioni integrali o equazioni di ritardo ordinarie. Il numero di gradi di libertà di un sistema distribuito è infinito e per determinarne lo stato è necessario un numero infinito di dati. Anishchenko V.S., Sistemi dinamici, rivista educativa Soros, 1997, n. 11, p. 77-84.
“A seconda della natura dei processi studiati nel sistema S, tutti i tipi di modellazione possono essere suddivisi in deterministici e stocastici, statici e dinamici, discreti, continui e discreti-continui. La modellazione deterministica riflette processi deterministici, cioè processi in cui si presuppone l'assenza di influenze casuali; la modellazione stocastica descrive processi ed eventi probabilistici. ... La modellazione statica serve a descrivere il comportamento di un oggetto in qualsiasi momento e la modellazione dinamica riflette il comportamento di un oggetto nel tempo. La modellazione discreta viene utilizzata per descrivere processi che si presuppone siano discreti, rispettivamente, la modellazione continua ci consente di riflettere i processi continui nei sistemi e la modellazione discreto-continua viene utilizzata nei casi in cui si vuole evidenziare la presenza di processi sia discreti che continui. " Sovetov B. Ya., Yakovlev S. A. ISBN 5-06-003860-2
Tipicamente, un modello matematico riflette la struttura (dispositivo) dell'oggetto modellato, le proprietà e le relazioni dei componenti di questo oggetto che sono essenziali ai fini della ricerca; tale modello è chiamato strutturale. Se il modello riflette solo il modo in cui funziona l'oggetto, ad esempio come reagisce alle influenze esterne, allora viene chiamato funzionale o, in senso figurato, scatola nera. Sono possibili anche modelli combinati. Myshkis A.D. ISBN 978-5-484-00953-4
“La fase iniziale ovvia, ma più importante, della costruzione o della selezione di un modello matematico è ottenere un quadro quanto più chiaro possibile dell’oggetto da modellare e perfezionare il suo modello significativo, sulla base di discussioni informali. Non dovresti risparmiare tempo e fatica in questa fase, il successo dell'intero studio dipende in gran parte da questo. È successo più di una volta che un lavoro significativo speso per risolvere un problema matematico si è rivelato inefficace o addirittura sprecato a causa dell’insufficiente attenzione a questo aspetto della questione”. Myshkis A.D., Elementi di teoria dei modelli matematici. - 3a ed., riv. - M.: KomKniga, 2007. - 192 con ISBN 978-5-484-00953-4, p. 35.
« Descrizione del modello concettuale del sistema. In questa sottofase della costruzione di un modello di sistema: a) il modello concettuale M è descritto in termini e concetti astratti; b) viene fornita una descrizione del modello utilizzando schemi matematici standard; c) le ipotesi e le ipotesi vengono finalmente accettate; d) la scelta della procedura per approssimare i processi reali nella costruzione di un modello è giustificata.” Sovetov B. Ya., Yakovlev S. A., Modellazione dei sistemi: Proc. per le università - 3a ed., riveduta. e aggiuntivi - M.: Più in alto. scuola, 2001. - 343 p. ISBN 5-06-003860-2, pag. 93.
Blekhman I. I., Myshkis A. D.,

Esempio 1.5.1.

Lascia che una determinata regione economica produca diversi (n) tipi di prodotti esclusivamente per conto proprio e solo per la popolazione di questa regione. Si presume che il processo tecnologico sia stato elaborato e che sia stata studiata la domanda della popolazione per questi beni. È necessario determinare il volume annuo della produzione del prodotto, tenendo conto del fatto che questo volume deve fornire sia il consumo finale che quello industriale.

Creiamo un modello matematico di questo problema. In base alle sue condizioni, vengono forniti: tipi di prodotti, domanda per essi e processo tecnologico; è necessario trovare il volume di output di ciascun tipo di prodotto.

Indichiamo le quantità note:

C io– domanda della popolazione per io il prodotto ( io=1,...,N); UN ij- quantità io il prodotto-esimo necessario per produrre un'unità di prodotto j-esimo utilizzando una determinata tecnologia ( io=1,...,N ; J=1,...,N);

X io – volume di uscita io-esimo prodotto ( io=1,...,N); totalità Con =(C 1 ,..., C N ) chiamato vettore della domanda, numeri UN ij– coefficienti tecnologici e la totalità X =(X 1 ,..., X N ) – vettore di rilascio.

In base alle condizioni del problema, il vettore X distribuito in due parti: per consumi finali (vettore Con ) e per la riproduzione (vettore x-s ). Calcoliamo quella parte del vettore X che entra nella riproduzione. Secondo le nostre designazioni per la produzione X J quantità di jesimo prodotto fornito UN ij · X J le quantità io-esimo prodotto.

Poi l'importo UN i1 · X 1 +...+ UN In · X N mostra quel valore io-esimo prodotto, necessario per l'intera versione X =(X 1 ,..., X N ).

Pertanto l’uguaglianza deve essere soddisfatta:

Estendendo questo ragionamento a tutte le tipologie di prodotti arriviamo al modello desiderato:

Risolvere questo sistema di n equazioni lineari per X 1 ,...,X N e trovare il vettore di rilascio richiesto.

Per scrivere questo modello in una forma più compatta (vettoriale), introduciamo la seguente notazione:

Piazza (
) -matrice UN chiamata matrice tecnologica. È facile verificare che il nostro modello ora sarà scritto in questo modo: x-s=Ah O

(1.6)

Abbiamo ricevuto il modello classico " Input Output ", il cui autore è il famoso economista americano V. Leontiev.

Esempio 1.5.2.

La raffineria di petrolio ha due tipi di petrolio: grado UN per un importo di 10 unità, grado IN- 15 unità. Dalla raffinazione del petrolio si ottengono due materiali: benzina (denotiamo B) e olio combustibile ( M). Esistono tre opzioni per il processo tecnologico di elaborazione:

IO: 1 unità UN+ 2 unità IN dà 3 unità. B+ 2 unità M

II: 2 unità. UN+ 1 unità IN dà 1 unità. B+ 5 unità M

III: 2 unità UN+ 2 unità IN dà 1 unità. B+ 2 unità M

Il prezzo della benzina è di 10 dollari per unità, l’olio combustibile è di 1 dollaro per unità.

È necessario determinare la combinazione più vantaggiosa di processi tecnologici per la lavorazione della quantità di petrolio disponibile.

Prima della modellazione, chiariamo i seguenti punti. Dalle condizioni del problema ne consegue che la “redditività” del processo tecnologico per l'impianto va intesa nel senso di ottenere il massimo ricavo dalla vendita dei suoi prodotti finiti (benzina e olio combustibile). A questo proposito è chiaro che la “decisione di scelta” dell’impianto consiste nel determinare quale tecnologia applicare e quante volte. Ovviamente, ci sono molte di queste opzioni possibili.

Indichiamo le quantità incognite:

X io– quantità di utilizzo io processo tecnologico (i=1,2,3). Altri parametri del modello (riserve di petrolio, prezzi della benzina e dell'olio combustibile) conosciuto.

Ora una decisione specifica sulla pianta si riduce alla scelta di un vettore X =(x 1 ,X 2 ,X 3 ) , per il quale il ricavo dell'impianto è pari a (32x 1 +15x 2 +12x 3 ) dollari. In questo caso, 32 dollari sono il reddito ricevuto da un'applicazione del primo processo tecnologico ($ 10 3 unità. B+ 1 dollaro ·2 unità. M= $ 32). I coefficienti 15 e 12 rispettivamente per il secondo e il terzo processo tecnologico hanno un significato simile. La contabilizzazione delle riserve petrolifere porta alle seguenti condizioni:

per varietà UN:

per varietà IN:,

dove nei primi coefficienti di disuguaglianza 1, 2, 2 sono i tassi di consumo dell'olio di grado A per l'uso una tantum di processi tecnologici IO,II,III rispettivamente. I coefficienti della seconda disuguaglianza hanno un significato simile per l'olio di grado B.

Il modello matematico nel suo complesso ha la forma:

Trova un vettore del genere x = (x 1 ,X 2 ,X 3 ) massimizzare

f(x) =32х 1 +15x 2 +12x 3

soggetto alle seguenti condizioni:

La forma abbreviata di questa voce è:

sotto restrizioni

(1.7)

Abbiamo il cosiddetto problema della programmazione lineare.

Il modello (1.7.) è un esempio di modello di ottimizzazione di tipo deterministico (con elementi ben definiti).

Esempio 1.5.3.

Un investitore deve determinare il miglior mix di azioni, obbligazioni e altri titoli da acquistare per un determinato importo al fine di ottenere un determinato profitto con un rischio minimo per se stesso. Profitto per dollaro investito in un titolo J- tipologia, caratterizzata da due indicatori: profitto atteso e profitto effettivo. Per un investitore, è auspicabile che il profitto atteso per dollaro investito non sia inferiore a un determinato valore per l'intero insieme di titoli B.

Si noti che per modellare correttamente questo problema, un matematico deve avere alcune conoscenze di base nel campo della teoria del portafoglio dei titoli.

Indichiamo i parametri noti del problema:

N– numero di tipologie di titoli; UN J– profitto effettivo (numero casuale) dalla j-esima tipologia di titolo; – profitto atteso da J-esimo tipo di sicurezza.

Indichiamo le quantità incognite :

sì J - fondi stanziati per l'acquisto di titoli della specie J.

Utilizzando la nostra notazione, l'intero importo investito è espresso come . Per semplificare il modello introduciamo nuove quantità

Così, X io- questa è la quota di tutti i fondi stanziati per l'acquisizione di titoli del tipo J.

E' chiaro

Dalle condizioni del problema è chiaro che l’obiettivo dell’investitore è raggiungere un certo livello di profitto con un rischio minimo. In sostanza, il rischio è una misura della deviazione del profitto effettivo da quello atteso. Pertanto può essere identificata con la covarianza degli utili per i titoli di tipo i e di tipo j. Qui M è la designazione dell'aspettativa matematica.

Il modello matematico del problema originale ha la forma:

sotto restrizioni

,
,
,
. (1.8)

Abbiamo ottenuto il noto modello di Markowitz per ottimizzare la struttura di un portafoglio titoli.

Il modello (1.8.) è un esempio di modello di ottimizzazione di tipo stocastico (con elementi di casualità).

Esempio 1.5.4.

Sulla base dell'organizzazione commerciale esistono n tipi di uno dei prodotti dell'assortimento minimo. È necessario portare in negozio solo un tipo di prodotto. È necessario scegliere il tipo di prodotto appropriato da portare in negozio. Se il tipo di prodotto J sarà richiesto, il negozio trarrà profitto dalla sua vendita R J, se non è richiesto, una perdita Q J .

Prima della modellazione, discuteremo alcuni punti fondamentali. In questo problema, il decisore (DM) è il negozio. Tuttavia, il risultato (massimo profitto) dipende non solo dalla sua decisione, ma anche dalla domanda se il prodotto importato sarà richiesto, cioè se verrà acquistato dalla popolazione (si presume che per qualche motivo il negozio non avere l'opportunità di studiare la domanda della popolazione). Pertanto, la popolazione può essere considerata come un secondo decisore, scegliendo la tipologia di prodotto in base alle proprie preferenze. La peggiore “decisione” della popolazione nei confronti di un negozio è: “le merci importate non sono richieste”. Quindi, per tenere conto di tutte le possibili situazioni, il negozio deve considerare la popolazione come il suo “nemico” (condizionatamente), perseguendo l’obiettivo opposto: ridurre al minimo i profitti del negozio.

Quindi, abbiamo un problema decisionale con due partecipanti che perseguono obiettivi opposti. Chiariamo che il negozio sceglie uno dei tipi di beni in vendita (ci sono n opzioni decisionali) e la popolazione sceglie uno dei tipi di beni più richiesti ( N opzioni di soluzione).

Per compilare un modello matematico, disegniamo una tabella con N linee e N colonne (totale N 2 celle) e concordano che le righe corrispondano alla scelta del negozio e le colonne alla scelta della popolazione. Poi la cella (io, j) corrisponde alla situazione in cui il negozio sceglie io tipo di prodotto ( io-esima riga), e la popolazione sceglie J tipo di prodotto ( J- esima colonna). In ogni cella scriviamo una valutazione numerica (profitto o perdita) della situazione corrispondente dal punto di vista del negozio:

Numeri Q io scritto con un segno meno per riflettere la perdita del negozio; in ogni situazione, il “guadagno” della popolazione (condizionatamente) è uguale al “guadagno” del negozio, preso con il segno opposto.

Una forma abbreviata di questo modello è:

(1.9)

Abbiamo il cosiddetto gioco a matrice. Il modello (1.9.) è un esempio di modelli decisionali di gioco.

Lezione 1.

BASI METODOLOGICHE DELLA MODELLAZIONE

Stato attuale del problema della modellazione dei sistemi

Concetti di modellazione e simulazione

Modellazione può essere considerato come la sostituzione dell'oggetto in studio (originale) con la sua immagine convenzionale, descrizione o altro oggetto chiamato modello e fornire un comportamento vicino all'originale nel quadro di determinati presupposti ed errori accettabili. La modellazione viene solitamente eseguita con l'obiettivo di comprendere le proprietà dell'originale studiando il suo modello e non l'oggetto stesso. Naturalmente, la modellazione è giustificata quando è più semplice che creare l'originale stesso o quando per qualche motivo è meglio non creare affatto l'originale.

Sotto modelloè inteso come un oggetto fisico o astratto, le cui proprietà sono in un certo senso simili alle proprietà dell'oggetto studiato. In questo caso, i requisiti per il modello sono determinati dal problema da risolvere e dai mezzi disponibili. Esistono una serie di requisiti generali per i modelli:

2) completezza – fornire al destinatario tutte le informazioni necessarie

sull'oggetto;

3) flessibilità: la capacità di riprodurre situazioni diverse in ogni cosa

gamma di cambiamenti nelle condizioni e nei parametri;

4) la complessità dello sviluppo deve essere accettabile per l'esistente

tempo e software.

Modellazioneè il processo di costruzione di un modello di un oggetto e di studio delle sue proprietà esaminando il modello.

Pertanto, la modellazione prevede 2 fasi principali:

1) sviluppo di un modello;

2) studio del modello e trarre conclusioni.

Allo stesso tempo, in ogni fase vengono risolti compiti diversi e

metodi e mezzi essenzialmente diversi.

In pratica vengono utilizzati vari metodi di modellazione. A seconda del metodo di implementazione, tutti i modelli possono essere suddivisi in due grandi classi: fisici e matematici.

Modellazione matematica Di solito è considerato come un mezzo per studiare processi o fenomeni utilizzando i loro modelli matematici.

Sotto modellazione fisica si riferisce allo studio di oggetti e fenomeni su modelli fisici, quando il processo studiato viene riprodotto preservandone la natura fisica o viene utilizzato un altro fenomeno fisico simile a quello studiato. In cui modelli fisici Di norma, assumono l'incarnazione reale di quelle proprietà fisiche dell'originale che sono significative situazione particolare... Ad esempio, quando si progetta un nuovo aereo, viene creato un modello con le stesse proprietà aerodinamiche; Quando pianificano uno sviluppo, gli architetti realizzano un modello che riflette la disposizione spaziale dei suoi elementi. A questo proposito viene anche chiamata modellazione fisica prototipazione.

Modellazione dell'emivitaè uno studio di sistemi controllabili su complessi modellistici con l'inclusione di apparecchiature reali nel modello. Il modello chiuso comprende, oltre alle apparecchiature reali, simulatori di influenze e interferenze, modelli matematici dell'ambiente esterno e processi per i quali non è nota una descrizione matematica sufficientemente accurata. L'inclusione di apparecchiature reali o sistemi reali nel circuito di modellazione di processi complessi consente di ridurre l'incertezza a priori ed esplorare processi per i quali non esiste una descrizione matematica esatta. Utilizzando la modellazione seminaturale, la ricerca viene effettuata tenendo conto delle piccole costanti di tempo e delle linearità inerenti alle apparecchiature reali. Quando si studiano modelli che utilizzano apparecchiature reali, viene utilizzato il concetto simulazione dinamica, quando si studiano sistemi e fenomeni complessi - evolutivo, imitazione E modellazione cibernetica.

Ovviamente il reale beneficio della modellazione si può ottenere solo se sono soddisfatte due condizioni:

1) il modello fornisce una corretta (adeguata) visualizzazione delle proprietà

quello originale, significativo dal punto di vista dell'operazione oggetto di studio;

2) il modello consente di eliminare le problematiche sopra elencate inerenti

condurre ricerche su oggetti reali.

2. Concetti di base della modellistica matematica

La risoluzione di problemi pratici utilizzando metodi matematici viene eseguita in modo coerente formulando il problema (sviluppando un modello matematico), scegliendo un metodo per studiare il modello matematico risultante e analizzando il risultato matematico ottenuto. La formulazione matematica del problema viene solitamente presentata sotto forma di immagini geometriche, funzioni, sistemi di equazioni, ecc. La descrizione di un oggetto (fenomeno) può essere rappresentata utilizzando forme continue o discrete, deterministiche o stocastiche e altre forme matematiche.

Teoria della modellazione matematica garantisce l'identificazione dei modelli di occorrenza di vari fenomeni nel mondo circostante o il funzionamento di sistemi e dispositivi mediante la loro descrizione matematica e modellizzazione senza effettuare test su scala reale. In questo caso, vengono utilizzate le disposizioni e le leggi della matematica che descrivono i fenomeni, i sistemi o i dispositivi simulati ad un certo livello della loro idealizzazione.

Modello matematico (MM)è una descrizione formalizzata di un sistema (o operazione) in un linguaggio astratto, ad esempio sotto forma di un insieme di relazioni matematiche o di un diagramma di algoritmo, ad es. cioè una descrizione matematica che fornisce la simulazione del funzionamento di sistemi o dispositivi a un livello sufficientemente vicino al loro comportamento reale ottenuto durante i test su scala reale di sistemi o dispositivi.

Qualsiasi MM descrive un oggetto, fenomeno o processo reale con un certo grado di approssimazione alla realtà. La tipologia di MM dipende sia dalla natura dell'oggetto reale che dagli obiettivi dello studio.

Modellazione matematica fenomeni, oggetti, sistemi e vari dispositivi sociali, economici, biologici e fisici è uno dei mezzi più importanti per comprendere la natura e progettare un'ampia varietà di sistemi e dispositivi. Sono noti esempi di utilizzo efficace della modellazione nella creazione di tecnologie nucleari, sistemi aeronautici e aerospaziali, nella previsione di fenomeni atmosferici e oceanici, di condizioni meteorologiche, ecc.

Tuttavia, aree così importanti della modellazione spesso richiedono supercomputer e anni di lavoro da parte di grandi team di scienziati per preparare i dati per la modellazione e il relativo debug. Tuttavia, in questo caso, la modellazione matematica di sistemi e dispositivi complessi non solo consente di risparmiare denaro in ricerca e test, ma può anche eliminare i disastri ambientali: ad esempio, consente di abbandonare i test sulle armi nucleari e termonucleari a favore della loro modellazione matematica o test di sistemi aerospaziali prima dei voli effettivi. Pertanto, la modellazione matematica a livello di risoluzione di problemi più semplici, ad esempio, nel campo della meccanica, dell'ingegneria elettrica, dell'elettronica, dell'ingegneria radiofonica e di molte altre aree della scienza e della tecnologia è ora diventata disponibile per l'esecuzione su PC moderni. E quando si utilizzano modelli generalizzati, diventa possibile simulare sistemi abbastanza complessi, ad esempio sistemi e reti di telecomunicazioni, sistemi radar o di radionavigazione.

Lo scopo della modellazione matematicaè l'analisi dei processi reali (in natura o tecnologia) utilizzando metodi matematici. A sua volta, ciò richiede lo studio della formalizzazione del processo MM. Il modello può essere un'espressione matematica contenente variabili il cui comportamento è simile al comportamento di un sistema reale. Il modello può includere elementi di casualità che tengono conto delle probabilità di possibili azioni di due o più “giocatori”, come, ad esempio, nei giochi teorici; oppure può rappresentare variabili reali di parti interconnesse del sistema operativo.

La modellazione matematica per lo studio delle caratteristiche dei sistemi può essere suddivisa in analitica, simulazione e combinata. A loro volta, i MM si dividono in simulativi e analitici.

Modellazione analitica

Per modellazione analiticaÈ caratteristico che i processi di funzionamento del sistema siano scritti sotto forma di determinate relazioni funzionali (equazioni algebriche, differenziali, integrali). Il modello analitico può essere studiato utilizzando i seguenti metodi:

1) analitici, quando si sforzano di ottenere, in forma generale, dipendenze esplicite per le caratteristiche dei sistemi;

2) numerico, quando non è possibile trovare una soluzione alle equazioni in forma generale e vengono risolte per dati iniziali specifici;

3) qualitativo, quando in assenza di soluzione si riscontrano alcune delle sue proprietà.

I modelli analitici possono essere ottenuti solo per sistemi relativamente semplici. Per i sistemi complessi sorgono spesso grandi problemi matematici. Per applicare il metodo analitico si passa ad una significativa semplificazione del modello originario. Tuttavia, la ricerca utilizzando un modello semplificato aiuta a ottenere solo risultati indicativi. I modelli analitici riflettono matematicamente correttamente la relazione tra variabili e parametri di input e output. Ma la loro struttura non riflette la struttura interna dell'oggetto.

Durante la modellazione analitica, i risultati vengono presentati sotto forma di espressioni analitiche. Ad esempio, collegandosi RC- circuito ad una sorgente di tensione costante E(R, C E E- componenti di questo modello), possiamo creare un'espressione analitica per la dipendenza temporale della tensione tu(T) sul condensatore C:

Questa equazione differenziale lineare (DE) è il modello analitico di questo semplice circuito lineare. La sua soluzione analitica, nella condizione iniziale tu(0) = 0, ovvero un condensatore scarico C all'inizio della modellazione, consente di trovare la dipendenza desiderata - sotto forma di formula:

tu(T) = E(1− exP(- T/RC)). (2)

Tuttavia, anche in questo esempio più semplice, sono necessari alcuni sforzi per risolvere DE (1) o per applicarlo sistemi matematici informatici(SCM) con calcoli simbolici – sistemi di computer algebra. Per questo caso del tutto banale, risolvere il problema della modellazione di un lineare RC-circuito fornisce l'espressione analitica (2) di una forma abbastanza generale - è adatta a descrivere il funzionamento del circuito per qualsiasi classificazione dei componenti R, C E E, e descrive la carica esponenziale del condensatore C attraverso un resistore R da una sorgente di tensione costante E.

Naturalmente, trovare soluzioni analitiche durante la modellazione analitica si rivela estremamente utile per identificare modelli teorici generali di circuiti, sistemi e dispositivi lineari semplici, ma la sua complessità aumenta notevolmente man mano che le influenze sul modello diventano più complesse e l'ordine e il numero di equazioni di stato che descrivono l'aumento dell'oggetto modellato. È possibile ottenere risultati più o meno visibili modellando oggetti del secondo o terzo ordine, ma con un ordine superiore le espressioni analitiche diventano eccessivamente macchinose, complesse e difficili da comprendere. Ad esempio, anche un semplice amplificatore elettronico contiene spesso decine di componenti. Tuttavia, molti SCM moderni, ad esempio, sistemi di matematica simbolica Acero, Matematica o ambiente MATLAB, sono in grado di automatizzare ampiamente la soluzione di complessi problemi di modellazione analitica.

Un tipo di modellazione è modellazione numerica, che consiste nell'ottenere i dati quantitativi necessari sul comportamento di sistemi o dispositivi mediante qualsiasi metodo numerico adatto, come i metodi di Eulero o Runge-Kutta. In pratica, la modellazione di sistemi e dispositivi non lineari utilizzando metodi numerici risulta essere molto più efficace della modellazione analitica di singoli circuiti, sistemi o dispositivi lineari privati. Ad esempio, per risolvere DE (1) o sistemi DE in casi più complessi, non è possibile ottenere una soluzione in forma analitica, ma utilizzando dati di simulazione numerica è possibile ottenere dati abbastanza completi sul comportamento dei sistemi e dei dispositivi simulati, nonché come costruire grafici di dipendenze che descrivono questo comportamento.

Modellazione di simulazione

A imitazione 10e modellazione, l'algoritmo che implementa il modello riproduce il processo di funzionamento del sistema nel tempo. I fenomeni elementari che compongono il processo vengono simulati, preservandone nel tempo la struttura logica e la sequenza degli eventi.

Il vantaggio principale dei modelli di simulazione rispetto a quelli analitici è la capacità di risolvere problemi più complessi.

I modelli di simulazione facilitano la presa in considerazione della presenza di elementi discreti o continui, caratteristiche non lineari, influenze casuali, ecc. Pertanto, questo metodo è ampiamente utilizzato nella fase di progettazione di sistemi complessi. Il mezzo principale per implementare la modellazione di simulazione è un computer, che consente la modellazione digitale di sistemi e segnali.

A questo proposito definiamo la frase “ modellazione informatica”, sempre più utilizzato in letteratura. Supponiamolo modellazione informaticaè la modellazione matematica che utilizza la tecnologia informatica. Di conseguenza, la tecnologia di modellazione computerizzata prevede l'esecuzione delle seguenti azioni:

1) determinare lo scopo della modellazione;

2) sviluppo di un modello concettuale;

3) formalizzazione del modello;

4) implementazione software del modello;

5) pianificazione di esperimenti su modelli;

6) attuazione del piano sperimentale;

7) analisi e interpretazione dei risultati della modellizzazione.

A modellazione di simulazione il MM utilizzato riproduce l'algoritmo (“logica”) del funzionamento del sistema oggetto di studio nel tempo per varie combinazioni di valori dei parametri del sistema e dell'ambiente esterno.

Un esempio del modello analitico più semplice è l'equazione del moto rettilineo uniforme. Quando si studia un processo di questo tipo utilizzando un modello di simulazione, è necessario osservare i cambiamenti nel percorso percorso nel tempo, ovviamente in alcuni casi è preferibile la modellazione analitica, in altri la simulazione (o una combinazione di entrambe). Per fare una scelta di successo, è necessario rispondere a due domande.

Qual è lo scopo della modellazione?

In quale classe può essere classificato il fenomeno modellato?

Le risposte a entrambe queste domande possono essere ottenute durante le prime due fasi della modellazione.

I modelli di simulazione non solo nelle proprietà, ma anche nella struttura corrispondono all'oggetto modellato. In questo caso esiste una corrispondenza inequivocabile ed evidente tra i processi ottenuti sul modello e i processi che si verificano sull'oggetto. Lo svantaggio della simulazione è che occorre molto tempo per risolvere il problema e ottenere una buona precisione.

I risultati della modellazione di simulazione del funzionamento di un sistema stocastico sono realizzazioni di variabili o processi casuali. Pertanto, per trovare le caratteristiche del sistema, sono necessarie molteplici ripetizioni e successive elaborazioni dei dati. Molto spesso in questo caso viene utilizzato un tipo di simulazione: statistico

modellazione(o metodo Monte Carlo), cioè riproduzione di fattori casuali, eventi, quantità, processi, campi in modelli.

Sulla base dei risultati della modellizzazione statistica vengono determinate le stime dei criteri probabilistici di qualità, generali e specifici, che caratterizzano il funzionamento e l'efficienza del sistema gestito. La modellazione statistica è ampiamente utilizzata per risolvere problemi scientifici e applicati in vari campi della scienza e della tecnologia. I metodi di modellazione statistica sono ampiamente utilizzati nello studio di sistemi dinamici complessi, valutandone il funzionamento e l'efficienza.

La fase finale della modellazione statistica si basa sull'elaborazione matematica dei risultati ottenuti. Qui vengono utilizzati metodi di statistica matematica (stima parametrica e non parametrica, verifica di ipotesi). Un esempio di stimatore parametrico è la media campionaria di una misura di prestazione. Tra i metodi non parametrici, molto diffuso metodo dell'istogramma.

Lo schema considerato si basa su ripetuti test statistici del sistema e metodi di statistica di variabili casuali indipendenti.Questo schema non è sempre naturale nella pratica e ottimale in termini di costi. È possibile ridurre i tempi di test del sistema attraverso l'uso di metodi di valutazione più accurati. Come è noto dalle statistiche matematiche, le stime efficaci hanno la massima precisione per una data dimensione del campione. Il filtraggio ottimale e il metodo della massima verosimiglianza forniscono un metodo generale per ottenere tali stime.Nei problemi di modellazione statistica, le implementazioni di elaborazione dei processi casuali sono necessarie non solo per analizzare i processi di output.

Anche il controllo delle caratteristiche delle influenze casuali degli input è molto importante. Il controllo consiste nel verificare la conformità delle distribuzioni dei processi generati con le distribuzioni date. Questo problema è spesso formulato come problema di verifica delle ipotesi.

La tendenza generale nella modellazione computerizzata di sistemi controllati complessi è il desiderio di ridurre i tempi di modellazione e di condurre ricerche in tempo reale. È conveniente rappresentare gli algoritmi computazionali in una forma ricorrente, consentendo la loro implementazione al ritmo di ricezione delle informazioni correnti.

PRINCIPI DI UN APPROCCIO SISTEMA NELLA MODELLAZIONE

Principi di base della teoria dei sistemi

I principi di base della teoria dei sistemi sono emersi durante lo studio dei sistemi dinamici e dei loro elementi funzionali. Un sistema è inteso come un gruppo di elementi interconnessi che agiscono insieme per realizzare un compito predeterminato. L'analisi dei sistemi ci consente di determinare le modalità più realistiche per eseguire un determinato compito, garantendo la massima soddisfazione dei requisiti dichiarati.

Gli elementi che costituiscono la base della teoria dei sistemi non vengono creati attraverso ipotesi, ma vengono scoperti sperimentalmente. Per iniziare a costruire un sistema è necessario possedere le caratteristiche generali dei processi tecnologici. Lo stesso vale per quanto riguarda i principi di creazione di criteri matematicamente formulati che un processo o la sua descrizione teorica devono soddisfare. La modellazione è uno dei metodi più importanti di ricerca e sperimentazione scientifica.

Quando si costruiscono modelli di oggetti, viene utilizzato un approccio sistemico, che è una metodologia per risolvere problemi complessi, che si basa sulla considerazione dell'oggetto come un sistema che opera in un determinato ambiente. Un approccio sistematico implica rivelare l'integrità di un oggetto, identificare e studiare la sua struttura interna, nonché le connessioni con l'ambiente esterno. In questo caso, l'oggetto viene presentato come una parte del mondo reale, isolato e studiato in relazione al problema della costruzione del modello. Inoltre, l'approccio sistemico comporta una transizione coerente dal generale allo specifico, quando l'obiettivo del progetto è la base della considerazione e l'oggetto è considerato in relazione all'ambiente.

Un oggetto complesso può essere suddiviso in sottosistemi, che sono parti dell'oggetto che soddisfano i seguenti requisiti:

1) un sottosistema è una parte funzionalmente indipendente di un oggetto. È connesso con altri sottosistemi, scambia con essi informazioni ed energia;

2) per ciascun sottosistema si possono definire funzioni o proprietà che non coincidono con le proprietà dell'intero sistema;

3) ciascuno dei sottosistemi può essere sottoposto ad ulteriore divisione a livello di elementi.

In questo caso per elemento si intende un sottosistema di livello inferiore, la cui ulteriore suddivisione è inappropriata dal punto di vista del problema da risolvere.

Pertanto, un sistema può essere definito come una rappresentazione di un oggetto sotto forma di un insieme di sottosistemi, elementi e connessioni ai fini della sua creazione, ricerca o miglioramento. In questo caso, una rappresentazione ingrandita del sistema, compresi i principali sottosistemi e le connessioni tra loro, è detta macrostruttura, mentre una descrizione dettagliata della struttura interna del sistema fino al livello degli elementi è detta microstruttura.

Insieme al sistema, di solito c'è un supersistema, un sistema di livello superiore che include l'oggetto in questione, e la funzione di qualsiasi sistema può essere determinata solo attraverso il supersistema.

È necessario evidenziare il concetto di ambiente come insieme di oggetti del mondo esterno che influenzano in modo significativo l'efficienza del sistema, ma non fanno parte del sistema e del suo supersistema.

In connessione con l'approccio sistemico ai modelli di costruzione, viene utilizzato il concetto di infrastruttura, che descrive la relazione del sistema con il suo ambiente (ambiente). In questo caso, l'identificazione, la descrizione e lo studio delle proprietà di un oggetto che sono essenziali nell'ambito di un compito specifico si chiama stratificazione dell'oggetto e qualsiasi modello dell'oggetto è la sua descrizione stratificata.

Per un approccio sistemico, è importante determinare la struttura del sistema, vale a dire un insieme di connessioni tra gli elementi del sistema, che riflette la loro interazione. Per fare ciò, consideriamo innanzitutto gli approcci strutturali e funzionali alla modellazione.

Con un approccio strutturale viene rivelata la composizione degli elementi selezionati del sistema e le connessioni tra loro. L'insieme degli elementi e delle connessioni ci permette di giudicare la struttura del sistema. La descrizione più generale di una struttura è una descrizione topologica. Ti consente di determinare i componenti del sistema e le loro connessioni utilizzando i grafici. Meno generale è la descrizione funzionale, quando si considerano singole funzioni, cioè algoritmi per il comportamento del sistema. In questo caso viene implementato un approccio funzionale che definisce le funzioni svolte dal sistema.

Sulla base dell'approccio sistemico, è possibile proporre una sequenza di sviluppo del modello, distinguendo due fasi principali della progettazione: macroprogettazione e microprogettazione.

Nella fase di macroprogettazione viene costruito un modello dell'ambiente esterno, vengono identificate risorse e limiti, vengono selezionati un modello di sistema e criteri per valutarne l'adeguatezza.

La fase di micro-progettazione dipende in gran parte dal tipo specifico di modello scelto. In generale, comporta la realizzazione di sistemi di modellazione informatica, matematica, tecnica e software. In questa fase vengono stabilite le principali caratteristiche tecniche del modello creato, viene stimato il tempo necessario per lavorarci e il costo delle risorse per ottenere la qualità specificata del modello.

Indipendentemente dal tipo di modello, durante la sua costruzione è necessario essere guidati da una serie di principi di un approccio sistematico:

1) progressione coerente attraverso le fasi di creazione di un modello;

2) coordinamento di informazioni, risorse, affidabilità e altre caratteristiche;

3) il corretto rapporto tra i diversi livelli di costruzione del modello;

4) l'integrità delle singole fasi della progettazione del modello.

In questo articolo offriamo esempi di modelli matematici. Inoltre, presteremo attenzione alle fasi di creazione dei modelli e analizzeremo alcuni problemi associati alla modellazione matematica.

Un'altra domanda che abbiamo riguarda i modelli matematici in economia, esempi dei quali vedremo la definizione un po' più tardi. Proponiamo di iniziare la nostra conversazione con il concetto stesso di "modello", considerare brevemente la loro classificazione e passare alle nostre domande principali.

Il concetto di "modello"

Spesso sentiamo la parola “modello”. Che cos'è? Questo termine ha molte definizioni, eccone solo tre:

un oggetto specifico creato per ricevere e memorizzare informazioni, riflettendo alcune proprietà o caratteristiche, e così via, dell'originale di questo oggetto (questo oggetto specifico può essere espresso in diverse forme: mentale, descrizione mediante segni e così via);
Per modello si intende anche la rappresentazione di una situazione, di vita o di gestione specifica;
un modello può essere una copia ridotta di un oggetto (vengono creati per uno studio e un'analisi più dettagliati, poiché il modello riflette la struttura e le relazioni).

Sulla base di tutto quanto detto in precedenza, possiamo trarre una piccola conclusione: il modello consente di studiare in dettaglio un sistema o un oggetto complesso.

Tutti i modelli possono essere classificati in base ad alcune caratteristiche:

per ambito di utilizzo (didattico, sperimentale, scientifico e tecnico, gaming, simulazione);
dalla dinamica (statica e dinamica);
per ramo del sapere (fisico, chimico, geografico, storico, sociologico, economico, matematico);
dal metodo di presentazione (materiale e informativo).

I modelli informativi, a loro volta, si dividono in simbolici e verbali. E quelli simbolici: in quelli informatici e non informatici. Passiamo ora a una considerazione dettagliata degli esempi del modello matematico.

Modello matematico

Come puoi immaginare, un modello matematico riflette qualsiasi caratteristica di un oggetto o fenomeno utilizzando simboli matematici speciali. La matematica è necessaria per modellare i modelli del mondo circostante nel suo linguaggio specifico.

Il metodo della modellazione matematica è nato molto tempo fa, migliaia di anni fa, insieme all'avvento di questa scienza. Tuttavia, l'impulso per lo sviluppo di questo metodo di modellazione è stato dato dall'emergere dei computer (calcolatori elettronici).

Passiamo ora alla classificazione. Può anche essere effettuato secondo alcuni segni. Sono presentati nella tabella seguente.

Proponiamo di fermarci e dare un'occhiata più da vicino all'ultima classificazione, poiché riflette i modelli generali di modellazione e gli obiettivi dei modelli in fase di creazione.

Modelli descrittivi

In questo capitolo proponiamo di soffermarci più in dettaglio sui modelli matematici descrittivi. Per rendere tutto molto chiaro, verrà fornito un esempio.

Cominciamo dal fatto che questo tipo può essere definito descrittivo. Ciò è dovuto al fatto che ci limitiamo a fare calcoli e previsioni, ma non possiamo in alcun modo influenzare l'esito dell'evento.

Un esempio lampante di modello matematico descrittivo è il calcolo della traiettoria di volo, della velocità e della distanza dalla Terra di una cometa che ha invaso le distese del nostro sistema solare. Questo modello è descrittivo, poiché tutti i risultati ottenuti non possono che avvisarci di qualsiasi pericolo. Purtroppo non possiamo influenzare l’esito dell’evento. Tuttavia, sulla base dei calcoli ottenuti, è possibile adottare qualsiasi misura per preservare la vita sulla Terra.

Modelli di ottimizzazione

Ora parleremo un po’ dei modelli economici e matematici, i cui esempi possono servire come diverse situazioni attuali. In questo caso parliamo di modelli che aiutano a trovare la risposta corretta in determinate condizioni. Hanno sicuramente alcuni parametri. Per renderlo completamente chiaro, consideriamo un esempio tratto dal settore agricolo.

Abbiamo un granaio, ma il grano si deteriora molto rapidamente. In questo caso, dobbiamo scegliere le giuste condizioni di temperatura e ottimizzare il processo di conservazione.

Possiamo quindi definire il concetto di “modello di ottimizzazione”. In senso matematico, è un sistema di equazioni (sia lineari che non), la cui soluzione aiuta a trovare la soluzione ottimale in una specifica situazione economica. Abbiamo visto un esempio di modello matematico (ottimizzazione), ma vorrei aggiungere: questo tipo appartiene alla classe dei problemi estremi, aiutano a descrivere il funzionamento del sistema economico.

Notiamo un'altra sfumatura: i modelli possono essere di natura diversa (vedi tabella sotto).

Modelli multicriterio

Ora ti invitiamo a parlare un po' del modello matematico di ottimizzazione multicriterio. Prima di ciò, abbiamo fornito un esempio di modello matematico per ottimizzare un processo secondo un criterio qualsiasi, ma cosa succede se ce ne sono molti?

Un esempio lampante di compito multicriterio è l'organizzazione di un'alimentazione corretta, sana e allo stesso tempo economica per grandi gruppi di persone. Tali compiti si incontrano spesso nell'esercito, nelle mense scolastiche, nei campi estivi, negli ospedali e così via.

Quali criteri ci vengono dati in questo compito?

La nutrizione dovrebbe essere sana.
Le spese per il cibo dovrebbero essere minime.

Come puoi vedere, questi obiettivi non coincidono affatto. Ciò significa che quando si risolve un problema è necessario cercare una soluzione ottimale, un equilibrio tra due criteri.

Modelli di gioco

Quando si parla di modelli di gioco è necessario comprendere il concetto di “teoria dei giochi”. In poche parole, questi modelli riflettono modelli matematici di conflitti reali. Devi solo capire che, a differenza di un conflitto reale, il modello matematico del gioco ha le sue regole specifiche.

Ora forniremo un minimo di informazioni tratte dalla teoria dei giochi che ti aiuteranno a capire cos'è un modello di gioco. E così, il modello contiene necessariamente dei partiti (due o più), che di solito vengono chiamati giocatori.

Tutti i modelli hanno determinate caratteristiche.

Il modello di gioco può essere accoppiato o multiplo. Se abbiamo due soggetti il conflitto è accoppiato; se sono più è multiplo. Puoi anche distinguere un gioco antagonista, è anche chiamato gioco a somma zero. Questo è un modello in cui il guadagno di uno dei partecipanti è uguale alla perdita dell’altro.

Modelli di simulazione

In questa sezione presteremo attenzione ai modelli matematici di simulazione. Esempi di attività includono:

modello di dinamica delle popolazioni di microrganismi;
modello di movimento molecolare e così via.

In questo caso parliamo di modelli quanto più vicini possibile ai processi reali. In generale, imitano alcune manifestazioni della natura. Nel primo caso, ad esempio, possiamo simulare la dinamica del numero di formiche presenti in una colonia. Allo stesso tempo, puoi osservare il destino di ogni singolo individuo. In questo caso, raramente viene utilizzata una descrizione matematica; le condizioni scritte sono più spesso presenti:

dopo cinque giorni la femmina depone le uova;
dopo venti giorni la formica muore e così via.

Pertanto, vengono utilizzati per descrivere un sistema di grandi dimensioni. Una conclusione matematica è l'elaborazione dei dati statistici ottenuti.

Requisiti

È molto importante sapere che questa tipologia di modello presenta alcuni requisiti, tra cui quelli elencati nella tabella sottostante.

Versatilità	Questa proprietà consente di utilizzare lo stesso modello quando si descrivono gruppi di oggetti simili. È importante notare che i modelli matematici universali sono completamente indipendenti dalla natura fisica dell'oggetto studiato
Adeguatezza	È importante capire qui che questa proprietà consente di riprodurre i processi reali nel modo più accurato possibile. Nelle attività operative, questa proprietà della modellazione matematica è molto importante. Un esempio di modello è il processo di ottimizzazione dell'uso di un sistema di gas. In questo caso, vengono confrontati gli indicatori calcolati e quelli effettivi, di conseguenza, viene verificata la correttezza del modello compilato
Precisione	Questo requisito implica la coincidenza dei valori che otteniamo calcolando il modello matematico e i parametri di input del nostro oggetto reale
Economico	Il requisito di rapporto costo-efficacia per qualsiasi modello matematico è caratterizzato dai costi di implementazione. Se lavori manualmente con il modello, devi calcolare quanto tempo ci vorrà per risolvere un problema utilizzando questo modello matematico. Se parliamo di progettazione assistita da computer, vengono calcolati gli indicatori del tempo e dei costi della memoria del computer

Fasi di modellazione

In totale, la modellazione matematica è solitamente divisa in quattro fasi.

Formulazione di leggi che collegano parti del modello.
Studio di problemi matematici.
Determinare la coincidenza di risultati pratici e teorici.
Analisi e modernizzazione del modello.

Modello economico e matematico

In questa sezione evidenzieremo brevemente il problema. Esempi di attività includono:

formazione di un programma di produzione per la produzione di prodotti a base di carne che garantisca i massimi profitti di produzione;
massimizzare il profitto dell’organizzazione calcolando la quantità ottimale di tavoli e sedie prodotti in una fabbrica di mobili e così via.

Il modello economico-matematico mostra l’astrazione economica, che si esprime utilizzando termini e simboli matematici.

Modello matematico informatico

Esempi di modello matematico computerizzato sono:

problemi idraulici utilizzando diagrammi di flusso, diagrammi, tabelle, ecc.;
problemi sulla meccanica dei solidi, e così via.

Un modello computerizzato è un'immagine di un oggetto o sistema, presentato nella forma:

tavoli;
diagrammi a blocchi;
diagrammi;
grafica e così via.

Inoltre, questo modello riflette la struttura e le interconnessioni del sistema.

Costruzione di un modello economico e matematico

Abbiamo già parlato di cosa sia un modello economico-matematico. Un esempio di risoluzione del problema verrà considerato in questo momento. Dobbiamo analizzare il programma di produzione per identificare una riserva per aumentare i profitti con uno spostamento dell'assortimento.

Non considereremo pienamente il problema, ma costruiremo solo un modello economico e matematico. Il criterio del nostro compito è la massimizzazione del profitto. Allora la funzione ha la forma: А=р1*х1+р2*х2..., tendente al massimo. In questo modello, p è il profitto per unità e x è il numero di unità prodotte. Successivamente, sulla base del modello costruito, è necessario effettuare calcoli e riassumere.

Un esempio di costruzione di un semplice modello matematico

Compito. Il pescatore tornò con la seguente cattura:

8 pesci - abitanti dei mari del nord;
Il 20% del pescato proviene da abitanti dei mari del sud;
Non è stato trovato un solo pesce nel fiume locale.

Quanti pesci ha comprato al negozio?

Quindi, un esempio di costruzione di un modello matematico di questo problema è simile a questo. Indichiamo il numero totale di pesci con x. Secondo la condizione, 0,2x è il numero di pesci che vivono alle latitudini meridionali. Ora combiniamo tutte le informazioni disponibili e otteniamo un modello matematico del problema: x=0,2x+8. Risolviamo l'equazione e otteniamo la risposta alla domanda principale: ha comprato 10 pesci nel negozio.

La base per risolvere i problemi economici sono i modelli matematici.

Modello matematico problema è un insieme di relazioni matematiche che descrivono l'essenza del problema.

L'elaborazione di un modello matematico comprende:

selezione delle variabili del problema
elaborare un sistema di restrizioni
scelta della funzione obiettivo

Variabili del compito sono chiamate le quantità X1, X2, Xn, che caratterizzano completamente il processo economico. Di solito sono scritti come un vettore: X=(X 1, X 2,...,X n).

Sistema di restrizioni I problemi sono un insieme di equazioni e disuguaglianze che descrivono le risorse limitate del problema in esame.

Funzione obiettivo i compiti sono chiamati una funzione delle variabili del compito che caratterizza la qualità del compito e di cui è necessario trovare l'estremo.

In generale, un problema di programmazione lineare può essere scritto come segue:

Questa voce significa quanto segue: trovare l'estremo della funzione obiettivo (1) e le variabili corrispondenti X=(X 1 , X 2 ,...,X n) a condizione che queste variabili soddisfino il sistema di restrizioni (2) e la condizioni di non negatività (3) .

Soluzione valida(piano) di un problema di programmazione lineare è un qualsiasi vettore n-dimensionale X=(X 1 , X 2 ,...,X n) che soddisfa il sistema di vincoli e condizioni di non negatività.

L'insieme delle soluzioni fattibili (piani) del problema si forma regione delle soluzioni fattibili(ODR).

La soluzione ottimale(piano) di un problema di programmazione lineare è una soluzione (piano) ammissibile del problema in cui la funzione obiettivo raggiunge un estremo.

Esempio di compilazione di un modello matematico

Il problema dell’utilizzo delle risorse (materie prime)

Condizione: Per produrre n tipi di prodotti vengono utilizzati m tipi di risorse. Creare un modello matematico.

Conosciuto:

b i (i = 1,2,3,...,m) — riserve di ciascun i-esimo tipo di risorsa;
a ij (i = 1,2,3,...,m; j=1,2,3,...,n) - i costi di ciascun i-esimo tipo di risorsa per la produzione di un'unità di volume della j-esima tipologia di prodotto;
c j (j = 1,2,3,...,n) - profitto dalla vendita di un'unità di volume del j-esimo tipo di prodotto.

È necessario elaborare un piano di produzione che garantisca il massimo profitto entro determinate restrizioni sulle risorse (materie prime).

Soluzione:

Introduciamo un vettore di variabili X=(X 1, X 2,...,X n), dove x j (j = 1,2,...,n) è il volume di produzione del tipo j-esimo di Prodotto.

I costi dell'i-esimo tipo di risorsa per la produzione di un dato volume x j di prodotti sono pari a a ij x j , pertanto la restrizione sull'uso delle risorse per la produzione di tutti i tipi di prodotti ha la forma:
Il profitto derivante dalla vendita del j-esimo tipo di prodotto è uguale a c j x j, quindi la funzione obiettivo è uguale a:

Risposta- Il modello matematico si presenta così:

Forma canonica di un problema di programmazione lineare

Nel caso generale, un problema di programmazione lineare è scritto in modo tale che i vincoli siano sia equazioni che disuguaglianze, e le variabili possono essere non negative o variabili arbitrariamente.

Nel caso in cui tutti i vincoli siano equazioni e tutte le variabili soddisfino la condizione di non negatività, il problema di programmazione lineare è detto canonico.

Può essere rappresentato in notazione di coordinate, vettori e matrici.

Il problema canonico della programmazione lineare in notazione delle coordinate ha la forma:

Il problema canonico della programmazione lineare in notazione matriciale ha la forma:

A è la matrice dei coefficienti del sistema di equazioni
X: colonna della matrice delle variabili dell'attività
Ао — colonna della matrice delle parti giuste del sistema di restrizioni

Spesso vengono utilizzati problemi di programmazione lineare, detti simmetrici, che in notazione matriciale hanno la forma:

Riduzione di un problema generale di programmazione lineare alla forma canonica

Nella maggior parte dei metodi per risolvere problemi di programmazione lineare, si presuppone che il sistema di vincoli sia costituito da equazioni e condizioni naturali per la non negatività delle variabili. Tuttavia, quando si compilano modelli di problemi economici, i vincoli si formano principalmente sotto forma di un sistema di disuguaglianze, quindi è necessario essere in grado di passare da un sistema di disuguaglianze a un sistema di equazioni.

Questo può essere fatto in questo modo:

Prendiamo la disuguaglianza lineare a 1 x 1 +a 2 x 2 +...+a n x n ≤b e aggiungiamo al suo membro sinistro un certo valore x n+1 tale che la disuguaglianza si trasformi nell'uguaglianza a 1 x 1 +a 2 x2 + ...+a n x n +x n+1 =b. Inoltre, questo valore x n+1 non è negativo.

Diamo un'occhiata a tutto usando un esempio.

Esempio 26.1

Riportiamo il problema della programmazione lineare in forma canonica:

Soluzione:
Passiamo al problema di trovare il massimo della funzione obiettivo.
Per fare ciò, cambiamo i segni dei coefficienti della funzione obiettivo.
Per trasformare la seconda e la terza diseguaglianza del sistema di vincoli in equazioni, introduciamo variabili aggiuntive non negative x 4 x 5 (nel modello matematico questa operazione è contrassegnata con la lettera D).
La variabile x 4 viene introdotta nella parte sinistra della seconda disuguaglianza con il segno “+”, poiché la disuguaglianza ha la forma “≤”.
La variabile x 5 viene introdotta nella parte sinistra della terza disuguaglianza con un segno “-”, poiché la disuguaglianza ha la forma “≥”.
Le variabili x 4 x 5 vengono inserite nella funzione obiettivo con un coefficiente. uguale a zero.
Scriviamo il problema in forma canonica.