Quasi tutto il corso di matematica si basa su operazioni con numeri positivi e negativi. Dopotutto, non appena iniziamo a studiare la linea delle coordinate, i numeri con i segni più e meno iniziano ad apparire ovunque, in ogni nuovo argomento. Non c'è niente di più semplice che sommare insieme normali numeri positivi; non è difficile sottrarre l'uno dall'altro. Anche l’aritmetica con due numeri negativi raramente costituisce un problema.
Tuttavia, molte persone si confondono nell'aggiungere e sottrarre numeri con segni diversi. Ricordiamo le regole in base alle quali si verificano queste azioni.
Somma di numeri con segni diversi
Se per risolvere un problema dobbiamo aggiungere un numero negativo “-b” a un numero “a”, allora dobbiamo agire come segue.
- Prendiamo i moduli di entrambi i numeri - |a| e |b| - e confrontare questi valori assoluti tra loro.
- Notiamo quale modulo è più grande e quale è più piccolo e sottraiamo il valore più piccolo da quello più grande.
- Mettiamo davanti al numero risultante il segno del numero il cui modulo è maggiore.
Questa sarà la risposta. Possiamo dirlo più semplicemente: se nell'espressione a + (-b) il modulo del numero "b" è maggiore del modulo di "a", allora sottraiamo "a" da "b" e mettiamo un "meno ” davanti al risultato. Se il modulo “a” è maggiore, allora “b” viene sottratto da “a” e la soluzione si ottiene con un segno “più”.
Succede anche che i moduli risultino uguali. Se è così, allora possiamo fermarci a questo punto: stiamo parlando di numeri opposti e la loro somma sarà sempre uguale a zero.
Sottrarre numeri con segni diversi
Abbiamo trattato dell'addizione, ora diamo un'occhiata alla regola della sottrazione. È anche abbastanza semplice e inoltre ripete completamente una regola simile per sottrarre due numeri negativi.
Per sottrarre da un certo numero “a” - arbitrario, cioè con qualsiasi segno - un numero negativo “c”, è necessario aggiungere al nostro numero arbitrario “a” il numero opposto a “c”. Per esempio:
- Se "a" è un numero positivo e "c" è negativo e devi sottrarre "c" da "a", lo scriviamo in questo modo: a – (-c) = a + c.
- Se “a” è un numero negativo e “c” è positivo e “c” deve essere sottratto da “a”, allora lo scriviamo come segue: (- a)– c = - a+ (-c).
Pertanto, quando si sottraggono numeri con segni diversi, si finisce per tornare alle regole dell'addizione, mentre quando si sommano numeri con segni diversi si ritorna alle regole della sottrazione. Memorizzare queste regole consente di risolvere i problemi in modo rapido e semplice.
>>Matematica: addizione di numeri con segni diversi
33. Addizione di numeri con segni diversi
Se la temperatura dell'aria fosse pari a 9 °C, e poi cambiasse a - 6 °C (cioè diminuisse di 6 °C), allora diventerebbe pari a 9 + (- 6) gradi (Fig. 83).
Per sommare i numeri 9 e - 6 utilizzando , è necessario spostare il punto A (9) verso sinistra di 6 segmenti unitari (Fig. 84). Otteniamo il punto B (3).
Ciò significa 9+(- 6) = 3. Il numero 3 ha lo stesso segno del termine 9, e il suo modulo pari alla differenza tra i moduli dei termini 9 e -6.
Infatti |3| =3 e |9| - |- 6| = = 9 - 6 = 3.
Se la stessa temperatura dell'aria di 9 °C cambiasse di -12 °C (cioè diminuisse di 12 °C), allora diventerebbe pari a 9 + (-12) gradi (Fig. 85). Sommando i numeri 9 e -12 utilizzando la linea delle coordinate (Fig. 86), otteniamo 9 + (-12) = -3. Il numero -3 ha lo stesso segno del termine -12, e il suo modulo è uguale alla differenza tra i moduli dei termini -12 e 9.
Infatti, | - 3| = 3 e | -12| - | -9| =12 - 9 = 3.
Per sommare due numeri con segni diversi è necessario:
1) sottrarre il modulo minore dal modulo maggiore dei termini;
2) anteporre al numero risultante il segno del termine il cui modulo è maggiore.
Di solito, prima viene determinato e scritto il segno della somma, quindi viene trovata la differenza nei moduli.
Per esempio:
1) 6,1+(- 4,2)= +(6,1 - 4,2)= 1,9,
o più corto 6.1+(- 4.2) = 6.1 - 4.2 = 1.9;
Quando aggiungi numeri positivi e negativi puoi usare microcalcolatrice. Per inserire un numero negativo in una microcalcolatrice, è necessario inserire il modulo di questo numero, quindi premere il tasto “cambia segno” |/-/|. Ad esempio, per inserire il numero -56.81, è necessario premere in sequenza i tasti: | 5 |, | 6 |, | ¦ |, | 8 |, | 1 |, |/-/|. Le operazioni sui numeri di qualsiasi segno vengono eseguite su un microcalcolatore allo stesso modo dei numeri positivi.
Ad esempio, la somma -6,1 + 3,8 viene calcolata utilizzando programma
? I numeri a e b hanno segni diversi. Che segno avrà la somma di questi numeri se il modulo più grande è negativo?
se il modulo più piccolo è negativo?
se il modulo più grande è un numero positivo?
se il modulo più piccolo è un numero positivo?
Formulare una regola per sommare numeri con segni diversi. Come inserire un numero negativo in una microcalcolatrice?
A 1045. Il numero 6 è stato cambiato in -10. Da che parte dell'origine si trova il numero risultante? A che distanza dall'origine si trova? A cosa è uguale somma 6 e -10?
1046. Il numero 10 è stato cambiato in -6. Da che parte dell'origine si trova il numero risultante? A che distanza dall'origine si trova? Qual è la somma di 10 e -6?
1047. Il numero -10 è stato cambiato in 3. Da quale lato dell'origine si trova il numero risultante? A che distanza dall'origine si trova? Qual è la somma di -10 e 3?
1048. Il numero -10 è stato cambiato in 15. Da quale lato dell'origine si trova il numero risultante? A che distanza dall'origine si trova? Qual è la somma di -10 e 15?
1049. Nella prima metà della giornata la temperatura è cambiata di - 4 °C, e nella seconda metà - di + 12 °C. Di quanti gradi è cambiata la temperatura durante il giorno?
1050. Esegui l'addizione:
1051. Aggiungere:
a) alla somma di -6 e -12 il numero 20;
b) al numero 2,6 la somma è -1,8 e 5,2;
c) alla somma -10 e -1,3 la somma di 5 e 8,7;
d) alla somma di 11 e -6,5 la somma di -3,2 e -6.
1052. Quale numero è 8; 7.1; -7.1; -7; -0,5 è la radice equazioni-6+x = -13,1?
1053. Indovina la radice dell'equazione e controlla:
a) x + (-3) = -11; c) m + (-12) = 2;
b) - 5 + y=15; d) 3 + n = -10.
1054. Trova il significato dell'espressione:
1055. Segui i passaggi utilizzando una microcalcolatrice:
a) - 3,2579 + (-12,308); d) -3,8564+ (-0,8397) +7,84;
b) 7,8547+ (- 9,239); e) -0,083 + (-6,378) + 3,9834;
c) -0,00154 + 0,0837; e) -0,0085+ 0,00354+ (- 0,00921).
P 1056. Trova il valore della somma:
1057. Trova il significato dell'espressione:
1058. Quanti numeri interi si trovano tra i numeri:
a) 0 e 24; b) -12 e -3; c) -20 e 7?
1059. Immagina il numero -10 come la somma di due termini negativi in modo che:
a) entrambi i termini erano numeri interi;
b) entrambi i termini erano frazioni decimali;
c) uno dei termini era ordinario regolare frazione.
1060. Qual è la distanza (in segmenti unitari) tra i punti della linea di coordinate con coordinate:
a) 0 e a; b) -a e a; c) -ae 0; d) a e -Za?
M 1061. I raggi dei paralleli geografici della superficie terrestre su cui si trovano le città di Atene e Mosca sono rispettivamente pari a 5040 km e 3580 km (Fig. 87). Quanto è più corto il parallelo di Mosca rispetto a quello di Atene?
1062. Scrivi un'equazione per risolvere il problema: “Un campo con una superficie di 2,4 ettari era diviso in due sezioni. Trovare piazza ciascun sito, se è noto che uno dei siti:
a) 0,8 ettari in più di un altro;
b) 0,2 ettari in meno di un altro;
c) 3 volte più di un altro;
d) 1,5 volte inferiore a un altro;
e) costituisce altro;
e) è 0,2 dell'altro;
g) costituisce il 60% dell'altro;
h) è il 140% dell’altro.”
1063. Risolvi il problema:
1) Il primo giorno i viaggiatori hanno percorso 240 km, il secondo giorno 140 km, il terzo giorno hanno percorso 3 volte di più rispetto al secondo e il quarto giorno si sono riposati. Quanti chilometri hanno percorso il quinto giorno, se in 5 giorni hanno percorso in media 230 km al giorno?
2) Il reddito mensile del padre è di 280 rubli. La borsa di studio di mia figlia è 4 volte inferiore. Quanto guadagna una madre al mese se la famiglia è composta da 4 persone, il figlio più giovane è uno scolaretto e ogni persona riceve in media 135 rubli?
1064. Segui questi passaggi:
1) (2,35 + 4,65) 5,3:(40-2,9);
2) (7,63-5,13) 0,4:(3,17 + 6,83).
1066. Presenta ciascuno dei numeri come somma di due termini uguali:
1067. Trova il valore di a + b se:
a) a= -1,6, b = 3,2; b) a=- 2,6, b = 1,9; V) 
1068. Su un unico piano di un edificio residenziale erano presenti 8 appartamenti. 2 appartamenti avevano una superficie abitabile di 22,8 m2, 3 appartamenti - 16,2 m2, 2 appartamenti - 34 m2. Quale superficie abitabile aveva l'ottavo appartamento se su questo piano in media ogni appartamento aveva 24,7 m2 di superficie abitabile?
1069. Il treno merci era composto da 42 vagoni. C'erano 1,2 volte più vagoni coperti che piattaforme e il numero di serbatoi era uguale al numero di piattaforme. Quante carrozze di ciascun tipo c'erano sul treno?
1070. Trova il significato dell'espressione 
N.Ya.Vilenkin, A.S. Chesnokov, S.I. Shvartsburd, V.I. Zhokhov, Matematica per la sesta elementare, Libro di testo per la scuola superiore
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Regola base per sommare numeri positivi e negativi
Abbiamo detto in precedenza che un numero positivo può essere considerato un reddito e un numero negativo può essere considerato una perdita. Per scoprire l'importo delle entrate e delle spese, è necessario guardare i moduli di questi numeri. Se alla fine si scopre che le nostre spese superano le nostre entrate, dopo la loro reciproca contabilità rimarremo in debito e, al contrario, rimarremo in nero. Se le spese equivalgono alle entrate, il saldo sarà pari a zero.
Utilizzando il ragionamento di cui sopra, possiamo ricavare la regola di base per sommare numeri con segni diversi.
Definizione 1
Per aggiungere un numero positivo con un numero negativo, devi trovare i loro moduli ed eseguire un confronto. Se i valori sono uguali, allora abbiamo due termini che sono numeri opposti e la loro somma sarà zero. Se non sono uguali, bisogna tenere conto che il risultato avrà lo stesso segno del numero più grande.
Pertanto, in questo caso l'addizione si riduce alla sottrazione di un numero più piccolo da un numero più grande. Il risultato di questa azione può essere diverso: possiamo ottenere un numero positivo o negativo. È possibile anche un risultato nullo.
Questa regola si applica ai numeri interi, razionali e reali.
Problemi che implicano l'aggiunta di un numero positivo a un numero negativo
Vediamo come applicare nella pratica la regola sopra delineata. Facciamo prima un semplice esempio.
Esempio 1
Calcola la somma 2 + (- 5) .
Soluzione
Seguiamo i passaggi che abbiamo imparato finora. Troviamo prima i moduli dei numeri originali, che saranno uguali a 2 e 5. Il modulo più grande è 5, quindi ricordiamo il meno. Successivamente, sottraiamo il modulo più piccolo dal modulo più grande e otteniamo: 5 − 2 = 3.
Risposta: (− 5) + 2 = − 3 .
Se le condizioni del problema contengono numeri razionali con segni diversi che non sono numeri interi, per comodità dei calcoli è necessario presentarli sotto forma di decimali o frazioni ordinarie. Prendiamo questo problema e risolviamolo.
Esempio 2
Calcola quanto fa 2 1 8 + (- 1 , 25).
Soluzione
Prima di tutto convertiamo il numero misto in una frazione comune. Se non ricordi come farlo, rileggi l'articolo corrispondente.
Presenteremo anche la frazione decimale come frazione ordinaria: - 1, 25 = - 125 100 = - 5 4.
Successivamente, puoi procedere al calcolo dei moduli e al calcolo del risultato. Troviamo i moduli: saranno uguali rispettivamente a 17 8 e 5 4. Portiamo le frazioni risultanti a un denominatore comune e otteniamo 17 8 e 10 8.
Il passo successivo è confrontare le frazioni. Poiché il numeratore della prima frazione è maggiore, allora 17 8 > 10 8. Se abbiamo un termine più grande con un segno più, dobbiamo ricordare che il risultato sarà positivo.
17 8 - 10 8 = 17 - 10 8 = 7 8
Abbiamo già notato in precedenza che il nostro risultato avrà un segno più: + 7 8 . Poiché non è necessario scrivere un vantaggio, ne faremo a meno quando scriveremo la risposta.
Scriviamo l'intera soluzione:
2 1 8 + - 1 , 25 = 17 8 + - 5 4 = 17 8 + - 10 8 = 17 8 - 10 8 = 7 8
Risposta: 2 1 8 + - 1 , 25 = 7 8 .
Esempio 3
Trova a quanto equivale la somma di 14 e - 14.
Soluzione
Abbiamo due termini identici con segni diversi. Ciò significa che questi numeri sono opposti tra loro, quindi la loro somma sarà uguale a 0.
Risposta: 14 + - 14 = 0
Alla fine dell'articolo aggiungeremo che il risultato della somma dei numeri reali negativi con quelli positivi è spesso meglio scritto come un'espressione numerica con radici, potenze o logaritmi, piuttosto che come una frazione decimale infinita. Quindi, se sommiamo i numeri n e - 3, la risposta sarà n - 3. Non è sempre necessario calcolare il risultato finale e puoi cavartela con calcoli approssimativi. Ne parleremo più in dettaglio nell'articolo sulle operazioni di base con numeri reali.
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AGGIUNTA E SOTTRAZIONE
numeri con segni diversi
Garantire che lo studente, in meno tempo di prima, acquisisca una grande quantità di conoscenze, approfondite ed efficaci: questo è uno dei compiti principali della pedagogia moderna. A questo proposito, è necessario iniziare a studiare cose nuove ripetendo materiale vecchio, già studiato e noto su un determinato argomento. Affinché la ripetizione proceda rapidamente e affinché ci sia la connessione più evidente tra il nuovo e il vecchio, è necessario organizzare in modo speciale la registrazione del materiale studiato durante la spiegazione.
Ad esempio, ti dirò come insegno agli studenti ad aggiungere e sottrarre numeri con segni diversi utilizzando una linea di coordinate. Prima di studiare direttamente l'argomento e durante le lezioni di 5a e 6a elementare, presto molta attenzione alla struttura della linea di coordinate. Prima di iniziare a studiare l'argomento "Addizione e sottrazione di numeri con segni diversi", è necessario che ogni studente conosca con certezza e sia in grado di rispondere alle seguenti domande:
1) Come è costruita la linea coordinata?
2) Come si trovano i numeri su di esso?
3) Qual è la distanza dal numero 0 a qualsiasi numero?
Gli studenti dovrebbero capire che spostarsi lungo una linea retta verso destra porta ad un aumento del numero, ad es. viene eseguita l'azione di addizione e a sinistra la sua diminuzione, ad es. viene eseguita l'azione di sottrazione dei numeri. Per evitare che la noia si sviluppi con la linea coordinata, ci sono molti problemi di gioco non standard. Ad esempio, questo.
Lungo l'autostrada è stata tracciata una linea retta. La lunghezza di un segmento unitario è 2 m Tutti si muovono solo lungo una linea retta. Al numero 3 ci sono Gena e Cheburashka. Camminavano in direzioni diverse nello stesso momento e si fermavano nello stesso momento. Gena ha camminato due volte fino a Cheburashka ed è finita al numero 11. In quale numero è finita Cheburashka? Quanti metri ha camminato Cheburashka? Chi di loro camminava più lentamente e di quanto?(Matematica non standard a scuola. - M., Laida, 1993, n. 62).
Quando sono fermamente convinto che tutti gli studenti possano affrontare i movimenti lungo una linea retta, e questo è molto importante, passo direttamente all'insegnamento dell'addizione e della sottrazione di numeri allo stesso tempo.
Ad ogni studente viene consegnata una nota di riferimento. Analizzando le disposizioni degli appunti e basandosi sulle immagini visive geometriche esistenti della linea coordinata, gli studenti acquisiscono nuove conoscenze. (Lo schema è mostrato in figura). Lo studio di un argomento inizia scrivendo su un quaderno le domande che verranno discusse.
1 . Come eseguire l'addizione utilizzando una linea di coordinate? Come trovare un termine sconosciuto? Diamo un'occhiata alla parte rilevante dello schema??. Ricordiamolo UN aggiungere B- significa aumentare UN SU B e il movimento lungo la linea delle coordinate avviene a destra. Ricordiamo come vengono nominati e calcolati i componenti dell'addizione e le leggi dell'addizione, nonché le proprietà dello zero durante l'addizione. Sono queste le parti?? E?? Appunti. Pertanto le seguenti domande scritte sul quaderno sono:
1). L'addizione è il movimento verso destra.
SL. +SL. = C; SL. = C-SL.
2). Leggi dell'addizione:
1) legge dello spostamento: UN+ B= B+ UN;
2) legge combinata: (UN+ B) + C= UN+ (B+ C) = (UN+ C) + B
3). Proprietà dello zero durante l'addizione: UN+ 0= UN; 0+ UN= UN; UN+ (- UN) = 0.
4). La sottrazione è un movimento verso sinistra.
U. - V. = R.; U. = V. + R.; V. = U. - R.
5). L'addizione può essere sostituita dalla sottrazione e la sottrazione può essere sostituita dall'addizione.
4 + 3 = - 1 3 - 4 = -1
4 + 3 = 3 + (- 4) = 3 - 4 = - 1
secondo la legge commutativa dell’addizione
6). Ecco come si aprono le parentesi:
+ (UN+ B+ C) = + UN+ B+ C
"signore"
- (a + b + c) = - a - b - c
"ladro"
2 . Leggi dell'addizione.
3 . Elenca le proprietà dello zero durante l'addizione.
4 . Come sottrarre numeri utilizzando una linea di coordinate? Regole per trovare sottraendo e minuendo sconosciuti.
5 . Come si passa dall'addizione alla sottrazione e dalla sottrazione all'addizione?
6 . Come aprire le parentesi precedute da: a) segno più; b) segno meno?
Il materiale teorico è piuttosto voluminoso, ma poiché ogni sua parte è collegata e, per così dire, "scorre" l'una dall'altra, la memorizzazione avviene con successo. Il lavoro con le note non finisce qui. Ogni parte dello schema è associata al testo del libro di testo, che viene letto in classe. Se dopo ciò lo studente ritiene che la parte analizzata gli sia completamente chiara, allora dipinge leggermente il testo del riassunto nella cornice appropriata, come se dicesse: "Lo capisco". Se c'è qualcosa di poco chiaro, la cornice non viene verniciata finché tutto non diventa chiaro. La parte bianca delle note è il segnale "Capiscilo!"
L'obiettivo dell'insegnante, che dovrebbe essere raggiunto entro la fine della lezione, è questo: gli studenti, uscendo dalla lezione, dovrebbero ricordare che l'addizione è il movimento lungo una linea di coordinate a destra e la sottrazione a sinistra. Tutti gli studenti hanno imparato ad aprire le parentesi. Il resto del tempo della lezione è dedicato all'apertura delle parentesi. Apriamo le parentesi oralmente e per iscritto in compiti come:
|
); - 20 + (- 7 + (- 5)). |
||||
Assegnazione dei compiti. Rispondi alle domande scritte sul quaderno leggendo i paragrafi del libro di testo indicati nelle note.
Nella prossima lezione eserciteremo l'algoritmo per addizionare e sottrarre numeri. Ogni studente ha sul proprio banco una scheda con le istruzioni:
1) Scrivi un esempio.
2) Aprire le parentesi, se presenti.
3) Disegna una linea di coordinate.
4) Segna il primo numero senza scala.
5) Se il numero è seguito da un segno “+”, spostarsi a destra, e se c'è un segno “-”, spostarsi a sinistra di tanti segmenti unitari quanti ne contiene il secondo termine. Disegnalo schematicamente e metti un segno accanto al numero che cerchi?
6) Poni la domanda “Dov’è lo zero?”
7) Determinare il segno del numero che ha un punto interrogativo, che è una soluzione, in questo modo: se? è a destra di 0, la risposta ha un segno +, ma cosa succede se? è a sinistra di 0, la risposta ha il segno - . Scrivi il segno trovato nella risposta dopo il segno =.
8) Segna tre segmenti sul disegno.
9) Trovare la lunghezza del segmento da zero al segno?
Esempio 1.- 35 + (- 9) = - 35 - 9 = - 44.
1. Copio l'esempio e apro le parentesi.
2. Faccio un disegno e ragiono in questo modo:
a) Segnalo - 35 e mi sposto a sinistra di 9 segmenti unitari; Metto un segno accanto al numero desiderato?;
b) Mi chiedo: “Dov’è lo zero?” Rispondo: “Lo zero è a destra - 35 x 35 segmenti unitari, il che significa che il segno della risposta è -, quindi? a sinistra dello zero";
c) cercare la distanza dallo 0 al segno?. Per fare ciò, calcolo 35 + 9 = 44 e assegno il numero risultante in risposta al segno -.
Esempio 2.- 35 + 9.
Esempio 3. 9 - 35.
Risolviamo questi esempi utilizzando un ragionamento simile all'Esempio 1. Non possono esserci altri casi di disposizione dei numeri e ogni immagine corrisponde a una delle regole indicate nel libro di testo e che richiedono la memorizzazione. È stato verificato (e più volte) che questo metodo di addizione è più razionale. Inoltre, permette di aggiungere numeri anche quando lo studente pensa di non ricordare nemmeno una regola. Questo metodo funziona anche quando lavori con le frazioni, devi solo portarle a un denominatore comune e quindi disegnare un'immagine. Per esempio,
Tutti utilizzano la carta “istruzioni” finché ce n’è bisogno.
Tale lavoro sostituisce l'azione noiosa e monotona di contare secondo le regole di un pensiero vivo e attivo. I vantaggi sono molti: non è necessario stipare e capire febbrilmente quale regola applicare; La struttura della linea coordinata è facile da ricordare, e questo vale sia in algebra che in geometria quando si calcola il valore di un segmento quando un punto su una linea si trova tra due altri punti. Questa tecnica è efficace sia nelle classi con uno studio approfondito della matematica, sia nelle classi con norme di età, e persino nelle classi di correzione.
In questa lezione impareremo addizione e sottrazione di numeri interi, nonché le regole per la loro addizione e sottrazione.
Ricordiamo che i numeri interi sono tutti numeri positivi e negativi, compreso il numero 0. Ad esempio, i seguenti numeri sono interi:
−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3
I numeri positivi sono facili e. Sfortunatamente, lo stesso non si può dire dei numeri negativi, che confondono molti principianti con i loro meno davanti a ogni numero. Come dimostra la pratica, gli errori commessi a causa dei numeri negativi sono quelli che frustrano maggiormente gli studenti.
Contenuto della lezioneEsempi di addizione e sottrazione di numeri interi
La prima cosa che dovresti imparare è aggiungere e sottrarre numeri interi utilizzando una linea di coordinate. Non è affatto necessario tracciare una linea di coordinate. Basta immaginarlo nei tuoi pensieri e vedere dove si trovano i numeri negativi e dove sono quelli positivi.
Consideriamo l'espressione più semplice: 1 + 3. Il valore di questa espressione è 4:
Questo esempio può essere compreso utilizzando una linea di coordinate. Per fare ciò, dal punto in cui si trova il numero 1, è necessario spostare tre gradini verso destra. Di conseguenza ci troveremo nel punto in cui si trova il numero 4. Nella figura puoi vedere come ciò avviene:
Il segno più nell'espressione 1 + 3 ci dice che dovremmo spostarci verso destra nella direzione dei numeri crescenti.
Esempio 2. Troviamo il valore dell'espressione 1 − 3.
Il valore di questa espressione è −2
Anche questo esempio può essere compreso utilizzando una linea di coordinate. Per fare ciò, dal punto in cui si trova il numero 1, è necessario spostarsi verso sinistra di tre passaggi. Di conseguenza, ci troveremo nel punto in cui si trova il numero negativo −2. Nella foto puoi vedere come avviene questo:
Il segno meno nell'espressione 1 − 3 ci dice che dovremmo spostarci a sinistra nella direzione dei numeri decrescenti.
In generale, è necessario ricordare che se si esegue l'addizione, è necessario spostarsi a destra nella direzione dell'aumento. Se viene eseguita la sottrazione, è necessario spostarsi a sinistra nella direzione della diminuzione.
Esempio 3. Trova il valore dell'espressione −2 + 4
Il valore di questa espressione è 2
Anche questo esempio può essere compreso utilizzando una linea di coordinate. Per fare ciò, dal punto in cui si trova il numero negativo −2, è necessario spostare quattro passi verso destra. Di conseguenza, ci troveremo nel punto in cui si trova il numero positivo 2.
Si può vedere che ci siamo spostati di quattro passi dal punto in cui si trova il numero negativo −2 verso destra e siamo arrivati al punto in cui si trova il numero positivo 2.
Il segno più nell'espressione −2 + 4 ci dice che dovremmo spostarci verso destra nella direzione dei numeri crescenti.
Esempio 4. Trova il valore dell'espressione −1 − 3
Il valore di questa espressione è −4
Anche questo esempio può essere risolto utilizzando una linea di coordinate. Per fare ciò, dal punto in cui si trova il numero negativo −1, è necessario spostarsi a sinistra di tre passaggi. Di conseguenza, ci troveremo nel punto in cui si trova il numero negativo −4
Si può vedere che ci siamo spostati di tre passi dal punto in cui si trova il numero negativo −1 verso sinistra e siamo arrivati al punto in cui si trova il numero negativo −4.
Il segno meno nell'espressione −1 − 3 ci dice che dovremmo spostarci a sinistra nella direzione dei numeri decrescenti.
Esempio 5. Trova il valore dell'espressione −2 + 2
Il valore di questa espressione è 0
Questo esempio può essere risolto utilizzando una linea di coordinate. Per fare ciò, dal punto in cui si trova il numero negativo −2, è necessario spostarsi di due passi verso destra. Di conseguenza, ci troveremo nel punto in cui si trova il numero 0
Si può vedere che ci siamo spostati di due passi dal punto in cui si trova il numero negativo −2 verso destra e siamo arrivati al punto in cui si trova il numero 0.
Il segno più nell'espressione −2 + 2 ci dice che dovremmo spostarci a destra nella direzione dei numeri crescenti.
Regole per sommare e sottrarre numeri interi
Per sommare o sottrarre numeri interi non è affatto necessario immaginare ogni volta una linea di coordinate, tanto meno disegnarla. È più conveniente utilizzare regole già pronte.
Quando si applicano le regole, è necessario prestare attenzione al segno dell'operazione e ai segni dei numeri che devono essere aggiunti o sottratti. Ciò determinerà quale regola applicare.
Esempio 1. Trova il valore dell'espressione −2 + 5
Qui un numero positivo viene aggiunto a un numero negativo. In altre parole, vengono sommati numeri con segni diversi. −2 è un numero negativo e 5 è un numero positivo. In questi casi vale la seguente regola:
Per sommare numeri con segni diversi, è necessario sottrarre il modulo più piccolo dal modulo più grande e inserire il segno del numero il cui modulo è più grande prima della risposta risultante.
Quindi, vediamo quale modulo è più grande:
Il modulo del numero 5 è maggiore del modulo del numero −2. La regola richiede di sottrarre quello più piccolo dal modulo più grande. Dobbiamo quindi sottrarre 2 da 5 e mettere il segno del numero il cui modulo è maggiore prima della risposta risultante.
Il numero 5 ha un modulo più grande, quindi il segno di questo numero sarà nella risposta. Cioè, la risposta sarà positiva:
−2 + 5 = 5 − 2 = 3
Solitamente scritto più breve: −2 + 5 = 3
Esempio 2. Trova il valore dell'espressione 3 + (−2)
Qui, come nell'esempio precedente, vengono aggiunti numeri con segni diversi. 3 è un numero positivo e −2 è un numero negativo. Si noti che −2 è racchiuso tra parentesi per rendere l'espressione più chiara. Questa espressione è molto più facile da capire dell'espressione 3+−2.
Quindi applichiamo la regola per sommare numeri con segni diversi. Come nell'esempio precedente, sottraiamo il modulo più piccolo dal modulo più grande e prima della risposta mettiamo il segno del numero il cui modulo è maggiore:
3 + (−2) = |3| − |−2| = 3 − 2 = 1
Il modulo del numero 3 è maggiore del modulo del numero −2, quindi abbiamo sottratto 2 da 3 e prima della risposta risultante abbiamo messo il segno del numero il cui modulo è maggiore. Il numero 3 ha un modulo più grande, motivo per cui nella risposta è incluso il segno di questo numero. Cioè, la risposta è positiva.
Di solito scritto più corto 3 + (−2) = 1
Esempio 3. Trova il valore dell'espressione 3 − 7
In questa espressione, un numero maggiore viene sottratto da un numero minore. In tal caso vale la seguente regola:
Per sottrarre un numero più grande da un numero più piccolo, devi sottrarre il numero più piccolo da quello più grande e mettere un meno davanti al risultato risultante.
3 − 7 = 7 − 3 = −4
C'è un piccolo problema in questa espressione. Ricordiamo che il segno uguale (=) viene posto tra quantità ed espressioni quando sono uguali tra loro.
Il valore dell'espressione 3 − 7, come abbiamo imparato, è −4. Ciò significa che qualsiasi trasformazione che eseguiremo in questa espressione deve essere uguale a −4
Ma vediamo che nella seconda fase c'è l'espressione 7 − 3, che non è uguale a −4.
Per correggere questa situazione, devi mettere l'espressione 7 - 3 tra parentesi e mettere un segno meno davanti a questa parentesi:
3 − 7 = − (7 − 3) = − (4) = −4
In questo caso, l'uguaglianza sarà osservata in ogni fase:
Dopo che l'espressione è stata calcolata, le parentesi possono essere rimosse, ed è ciò che abbiamo fatto.
Quindi per essere più precisi la soluzione dovrebbe assomigliare a questa:
3 − 7 = − (7 − 3) = − (4) = − 4
Questa regola può essere scritta utilizzando le variabili. Apparirà così:
un - b = - (b - un)
Un gran numero di parentesi e segni di operazione possono complicare la soluzione di un problema apparentemente semplice, quindi è più consigliabile imparare a scrivere brevemente tali esempi, ad esempio 3 − 7 = − 4.
In effetti, sommare e sottrarre numeri interi non è altro che un'addizione. Ciò significa che se devi sottrarre dei numeri, questa operazione può essere sostituita dall'addizione.
Allora, conosciamo la nuova regola:
Sottrarre un numero a un altro significa aggiungere al minuendo un numero opposto a quello da sottrarre.
Ad esempio, considera l'espressione più semplice 5 - 3. Nelle fasi iniziali dello studio della matematica, mettiamo un segno uguale e scriviamo la risposta:
Ma ora stiamo facendo progressi nello studio, quindi dobbiamo adattarci alle nuove regole. La nuova regola dice che sottrarre un numero a un altro significa aggiungere al minuendo lo stesso numero del sottraendo.
Proviamo a capire questa regola usando l'esempio dell'espressione 5 − 3. Il minuendo in questa espressione è 5 e il sottraendo è 3. La regola dice che per sottrarre 3 da 5, devi aggiungere a 5 un numero che è l'opposto di 3. L'opposto del numero 3 è −3 . Scriviamo una nuova espressione:
E sappiamo già come trovare significati per tali espressioni. Questa è l'addizione di numeri con segni diversi, che abbiamo visto in precedenza. Per sommare numeri con segni diversi, sottraiamo il modulo più piccolo da quello più grande e prima del risultato risultante mettiamo il segno del numero il cui modulo è maggiore:
5 + (−3) = |5| − |−3| = 5 − 3 = 2
Il modulo del numero 5 è maggiore del modulo del numero −3. Pertanto, abbiamo sottratto 3 da 5 e abbiamo ottenuto 2. Il numero 5 ha un modulo più grande, quindi inseriamo il segno di questo numero nella risposta. Cioè, la risposta è positiva.
Inizialmente, non tutti sono in grado di sostituire rapidamente la sottrazione con l'addizione. Questo perché i numeri positivi vengono scritti senza il segno più.
Ad esempio, nell'espressione 3 − 1, il segno meno che indica la sottrazione è un segno di operazione e non si riferisce a una. Uno in questo caso è un numero positivo e ha il proprio segno più, ma non lo vediamo, poiché un più non viene scritto prima dei numeri positivi.
Pertanto, per chiarezza, questa espressione può essere scritta come segue:
(+3) − (+1)
Per comodità, i numeri con il proprio segno sono posti tra parentesi. In questo caso, sostituire la sottrazione con l’addizione è molto più semplice.
Nell'espressione (+3) − (+1), il numero da sottrarre è (+1) e il numero opposto è (−1).
Sostituiamo la sottrazione con l'addizione e al posto del sottraendo (+1) scriviamo il numero opposto (−1)
(+3) − (+1) = (+3) + (−1)
Ulteriori calcoli non saranno difficili.
(+3) − (+1) = (+3) + (−1) = |3| − |−1| = 3 − 1 = 2
A prima vista, potrebbe sembrare che senso abbiano questi movimenti aggiuntivi se puoi usare il buon vecchio metodo per mettere un segno di uguale e scrivere immediatamente la risposta 2. In effetti, questa regola ci aiuterà più di una volta.
Risolviamo l'esempio precedente 3 − 7 utilizzando la regola della sottrazione. Per prima cosa portiamo l'espressione in una forma chiara, assegnando a ciascun numero i propri segni.
Tre ha un segno più perché è un numero positivo. Il segno meno che indica la sottrazione non si applica al sette. Sette ha un segno più perché è un numero positivo:
Sostituiamo la sottrazione con l'addizione:
(+3) − (+7) = (+3) + (−7)
Ulteriori calcoli non sono difficili:
(+3) − (−7) = (+3) + (-7)
= −(|−7| − |+3|) = −(7 − 3) = −(4) = −4
Esempio 7. Trova il valore dell'espressione −4 − 5
Ancora una volta abbiamo un'operazione di sottrazione. Questa operazione deve essere sostituita dall'addizione. Al minuendo (−4) aggiungiamo il numero opposto al sottraendo (+5). Il numero opposto al sottraendo (+5) è il numero (−5).
(−4) − (+5) = (−4) + (−5)
Siamo arrivati a una situazione in cui dobbiamo aggiungere numeri negativi. In questi casi vale la seguente regola:
Per aggiungere numeri negativi, devi sommare i loro moduli e mettere un segno meno davanti alla risposta risultante.
Sommiamo quindi i moduli dei numeri, come la regola ci impone di fare, e mettiamo un meno davanti al risultato risultante:
(−4) − (+5) = (−4) + (−5) = |−4| + |−5| = 4 + 5 = −9
La voce con moduli deve essere racchiusa tra parentesi quadre e davanti a queste deve essere posto il segno meno. In questo modo forniremo un segno meno che dovrebbe apparire prima della risposta:
(−4) − (+5) = (−4) + (−5) = −(|−4| + |−5|) = −(4 + 5) = −(9) = −9
La soluzione per questo esempio può essere scritta brevemente:
−4 − 5 = −(4 + 5) = −9
o anche più breve:
−4 − 5 = −9
Esempio 8. Trova il valore dell'espressione −3 − 5 − 7 − 9
Portiamo l'espressione in una forma chiara. Qui, tutti i numeri tranne −3 sono positivi, quindi avranno segni più:
(−3) − (+5) − (+7) − (+9)
Sostituiamo le sottrazioni con le addizioni. Tutti i meno, tranne il meno davanti ai tre, cambieranno in più e tutti i numeri positivi cambieranno nel contrario:
(−3) − (+5) − (+7) − (+9) = (−3) + (−5) + (−7) + (−9)
Ora applichiamo la regola per aggiungere numeri negativi. Per aggiungere numeri negativi, devi sommare i loro moduli e mettere un segno meno davanti alla risposta risultante:
(−3) − (+5) − (+7) − (+9) = (−3) + (−5) + (−7) + (−9) =
= −(|−3| + |−5| + |−7| + |−9|) = −(3 + 5 + 7 + 9) = −(24) = −24
La soluzione di questo esempio può essere scritta brevemente:
−3 − 5 − 7 − 9 = −(3 + 5 + 7 + 9) = −24
o anche più breve:
−3 − 5 − 7 − 9 = −24
Esempio 9. Trova il valore dell'espressione −10 + 6 − 15 + 11 − 7
Portiamo l'espressione in una forma chiara:
(−10) + (+6) − (+15) + (+11) − (+7)
Qui ci sono due operazioni: addizione e sottrazione. Lasciamo invariata l'addizione e sostituiamo la sottrazione con l'addizione:
(−10) + (+6) − (+15) + (+11) − (+7) = (−10) + (+6) + (−15) + (+11) + (−7)
Osservando, eseguiremo ciascuna azione a turno, in base alle regole precedentemente apprese. Le voci con moduli possono essere saltate:
Prima azione:
(−10) + (+6) = − (10 − 6) = − (4) = − 4
Seconda azione:
(−4) + (−15) = − (4 + 15) = − (19) = − 19
Terza azione:
(−19) + (+11) = − (19 − 11) = − (8) = −8
Quarta azione:
(−8) + (−7) = − (8 + 7) = − (15) = − 15
Pertanto, il valore dell'espressione −10 + 6 − 15 + 11 − 7 è −15
Nota. Non è affatto necessario portare l'espressione in una forma comprensibile racchiudendo i numeri tra parentesi. Quando si verifica l'assuefazione ai numeri negativi, questo passaggio può essere saltato perché richiede molto tempo e può creare confusione.
Quindi, per aggiungere e sottrarre numeri interi, è necessario ricordare le seguenti regole:
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