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60=2*2*3*5
75=3*5*5
2) Scriviamo i fattori inclusi nell'espansione del primo di questi numeri e aggiungiamo ad essi il fattore 5 mancante dall'espansione del secondo numero. Otteniamo: 2*2*3*5*5=300. Abbiamo trovato il NOC, cioè questo importo = 300. Non dimenticare la dimensione e scrivi la risposta:
Risposta: la mamma dà 300 rubli.
Definizione GCD: Massimo Comun Divisore (MCD) numeri naturali UN E V chiamare il numero naturale più grande C, a cui UN, E B diviso senza resto. Quelli. Cè il più piccolo numero naturale per il quale e UN E B sono multipli.
Nota: Esistono due approcci per definire i numeri naturali
- numeri utilizzati in: elencare (numerare) oggetti (primo, secondo, terzo, ...); - nelle scuole di solito è così.
- designazione del numero di oggetti (nessun Pokemon - zero, un Pokemon, due Pokemon, ...).
I numeri negativi e non interi (razionali, reali, ...) non sono numeri naturali. Alcuni autori includono lo zero nell'insieme dei numeri naturali, altri no. L'insieme di tutti i numeri naturali è solitamente indicato dal simbolo N
Nota: Divisore di un numero naturale UN nominare il numero B, a cui UN diviso senza resto. Multipli di un numero naturale B chiamare un numero naturale UN, che è divisibile per B senza traccia. Se il numero B- divisore numerico UN, Quello UN multiplo del numero B. Esempio: 2 è un divisore di 4 e 4 è un multiplo di due. 3 è un divisore di 12 e 12 è un multiplo di 3.
Nota: I numeri naturali si dicono primi se sono divisibili senza resto solo per se stessi e per 1. I numeri coprimi sono quelli che hanno un solo divisore comune uguale a 1.
Definizione di come trovare un MCD nel caso generale: Per trovare il MCD (massimo comun divisore) sono necessari diversi numeri naturali:
1) Dividili in fattori primi. (La Tavola dei Numeri Primi può essere molto utile a questo scopo.)
2) Annotare i fattori inclusi nell'espansione di uno di essi.
3) Cancella quelli che non rientrano nell'espansione dei numeri rimanenti.
4) Moltiplicare i fattori ottenuti al punto 3).
Problema 2 attivo (NOK): Per il nuovo anno, Kolya Puzatov ha acquistato in città 48 criceti e 36 caffettiere. A Fekla Dormidontova, in quanto ragazza più onesta della classe, è stato affidato il compito di dividere questa proprietà nel maggior numero possibile di set regalo per gli insegnanti. Quanti set hai ricevuto? Qual è il contenuto dei set?
Esempio 2.1. risolvere il problema di trovare GCD. Trovare MCD per selezione.
Soluzione: Ciascuno dei numeri 48 e 36 deve essere divisibile per il numero di regali.
1) Annota i divisori 48: 48, 24, 16, 12
, 8, 6, 3, 2, 1
2) Annota i divisori di 36: 36, 18, 12
, 9, 6, 3, 2, 1 Scegli il massimo comun divisore. Whoa-la-la! Abbiamo scoperto che il numero di set è di 12 pezzi.
3) Dividi 48 per 12 per ottenere 4, dividi 36 per 12 per ottenere 3. Non dimenticare la dimensione e scrivi la risposta:
Risposta: riceverai 12 set da 4 criceti e 3 caffettiere in ogni set.
Definizione. Si chiama il numero naturale più grande per cui si dividono i numeri a e b senza resto massimo comun divisore (MCD) questi numeri.
Troviamo il massimo comun divisore dei numeri 24 e 35.
I divisori di 24 sono i numeri 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, mentre i divisori di 35 sono i numeri 1, 5, 7, 35.
Vediamo che i numeri 24 e 35 hanno un solo divisore comune: il numero 1. Tali numeri sono chiamati reciprocamente primi.
Definizione. Si chiamano i numeri naturali reciprocamente primi, se il loro massimo comun divisore (MCD) è 1.
Massimo Comun Divisore (MCD) può essere trovato senza scrivere tutti i divisori dei numeri dati.
Fattorizzando i numeri 48 e 36, otteniamo:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
Dai fattori inclusi nell'espansione del primo di questi numeri, eliminiamo quelli che non sono inclusi nell'espansione del secondo numero (cioè due due).
I fattori rimanenti sono 2 * 2 * 3. Il loro prodotto è uguale a 12. Questo numero è il massimo comun divisore dei numeri 48 e 36. Si trova anche il massimo comun divisore di tre o più numeri.
Trovare massimo comun divisore
2) dai fattori inclusi nell'espansione di uno di questi numeri, cancella quelli che non sono inclusi nell'espansione di altri numeri;
3) trovare il prodotto dei restanti fattori.
Se tutti i numeri dati sono divisibili per uno di essi, allora questo numero lo è massimo comun divisore dati numeri.
Ad esempio, il massimo comun divisore dei numeri 15, 45, 75 e 180 è il numero 15, poiché tutti gli altri numeri sono divisibili per esso: 45, 75 e 180.
Minimo comune multiplo (LCM)
Definizione. Minimo comune multiplo (LCM) numeri naturali a e b è il più piccolo numero naturale che è multiplo sia di a che di b. Il minimo comune multiplo (MCM) dei numeri 75 e 60 può essere trovato senza scrivere i multipli di questi numeri in una riga. Per fare ciò, fattorizziamo 75 e 60 in fattori primi: 75 = 3 * 5 * 5 e 60 = 2 * 2 * 3 * 5.
Annotiamo i fattori inclusi nell'espansione del primo di questi numeri e aggiungiamo ad essi i fattori mancanti 2 e 2 dall'espansione del secondo numero (cioè combiniamo i fattori).
Otteniamo cinque fattori 2 * 2 * 3 * 5 * 5, il cui prodotto è 300. Questo numero è il minimo comune multiplo dei numeri 75 e 60.
Trovano anche il minimo comune multiplo di tre o più numeri.
A trovare il minimo comune multiplo più numeri naturali, ti occorre:
1) scomponirli in fattori primi;
2) annotare i fattori inclusi nell'espansione di uno dei numeri;
3) sommare ad essi i fattori mancanti dagli sviluppi dei numeri rimanenti;
4) trovare il prodotto dei fattori risultanti.
Nota che se uno di questi numeri è divisibile per tutti gli altri numeri, allora questo numero è il minimo comune multiplo di questi numeri.
Ad esempio, il minimo comune multiplo dei numeri 12, 15, 20 e 60 è 60 perché è divisibile per tutti questi numeri.
Pitagora (VI secolo aC) e i suoi studenti studiarono la questione della divisibilità dei numeri. Chiamavano numero perfetto un numero uguale alla somma di tutti i suoi divisori (senza il numero stesso). Ad esempio, i numeri 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) sono perfetti. I successivi numeri perfetti sono 496, 8128, 33.550.336.I Pitagorici conoscevano solo i primi tre numeri perfetti. Il quarto - 8128 - divenne noto nel I secolo. N. e. Il quinto – 33.550.336 – fu ritrovato nel XV secolo. Nel 1983 si conoscevano già 27 numeri perfetti. Ma gli scienziati non sanno ancora se esistano numeri perfetti dispari o se esista un numero perfetto più grande.
L'interesse degli antichi matematici per i numeri primi è dovuto al fatto che qualsiasi numero è primo o può essere rappresentato come un prodotto di numeri primi, cioè i numeri primi sono come i mattoni con cui sono costruiti il resto dei numeri naturali.
Probabilmente hai notato che i numeri primi nella serie dei numeri naturali si presentano in modo non uniforme: in alcune parti della serie ce ne sono di più, in altre meno. Ma più ci spostiamo lungo la serie dei numeri, meno comuni sono i numeri primi. La domanda sorge spontanea: esiste un ultimo numero primo (il più grande)? L'antico matematico greco Euclide (III secolo a.C.), nel suo libro "Elementi", che fu il principale libro di testo di matematica per duemila anni, dimostrò che esistono infiniti numeri primi, cioè dietro ogni numero primo ce n'è uno ancora più grande numero.
Per trovare i numeri primi, un altro matematico greco dello stesso tempo, Eratostene, ideò questo metodo. Ha scritto tutti i numeri da 1 a un numero qualsiasi, quindi ne ha cancellato uno, che non è né primo né composto, quindi ha cancellato con uno tutti i numeri che seguono il 2 (numeri che sono multipli di 2, cioè 4, 6, 8, ecc.). Il primo numero rimasto dopo il 2 era 3. Poi, dopo il due, tutti i numeri successivi al 3 (numeri multipli di 3, cioè 6, 9, 12, ecc.) venivano cancellati. alla fine solo i numeri primi rimasero non incrociati.
Risolviamo il problema. Abbiamo due tipi di cookie. Alcuni sono al cioccolato e altri sono semplici. Quelli al cioccolato sono 48 e quelli semplici 36. Devi fare il maggior numero possibile di regali con questi biscotti e devi usarli tutti.
Per prima cosa scriviamo tutti i divisori di ciascuno di questi due numeri, poiché entrambi questi numeri devono essere divisibili per il numero di doni.
Noi abbiamo
- 48: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48.
- 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.
Troviamo tra i divisori comuni che hanno sia il primo che il secondo numero.
I fattori comuni saranno: 1, 2, 3, 4, 6, 12.
Il massimo comun divisore di tutti è il numero 12. Questo numero è chiamato il massimo comun divisore dei numeri 36 e 48.
In base ai risultati ottenuti, possiamo concludere che con tutti i biscotti si possono fare 12 regali. Uno di questi regali conterrà 4 biscotti al cioccolato e 3 biscotti normali.
Trovare il Massimo Comun Divisore
- Il più grande numero naturale che divide due numeri a e b senza resto si chiama massimo comun divisore di questi numeri.
A volte viene utilizzata l'abbreviazione GCD per abbreviare la voce.
Alcune coppie di numeri hanno uno come massimo comun divisore. Tali numeri vengono chiamati numeri reciprocamente primi. Ad esempio, i numeri 24 e 35 hanno MCD = 1.
Come trovare il massimo comun divisore
Per trovare il massimo comun divisore non è necessario scrivere tutti i divisori dei numeri dati.
Puoi farlo diversamente. Innanzitutto scomponi entrambi i numeri in fattori primi.
- 48 = 2*2*2*2*3,
- 36 = 2*2*3*3.
Ora, dai fattori che rientrano nello sviluppo del primo numero, cancelleremo tutti quelli che non sono compresi nello sviluppo del secondo numero. Nel nostro caso, questi sono due due.
- 48 = 2*2*2*2*3 ,
- 36 = 2*2*3 *3.
I fattori rimanenti sono 2, 2 e 3. Il loro prodotto è 12. Questo numero sarà il massimo comun divisore dei numeri 48 e 36.
Questa regola può essere estesa al caso di tre, quattro, ecc. numeri.
Schema generale per trovare il massimo comun divisore
- 1. Dividi i numeri in fattori primi.
- 2. Dai fattori inclusi nell'espansione di uno di questi numeri, cancella quelli che non sono inclusi nell'espansione di altri numeri.
- 3. Calcola il prodotto dei fattori rimanenti.
Il massimo comune divisore e il minimo comune multiplo sono concetti aritmetici chiave che semplificano il lavoro con le frazioni. MCM e sono spesso utilizzati per trovare il denominatore comune di più frazioni.
Concetti basilari
Il divisore di un intero X è un altro intero Y per il quale X viene diviso senza lasciare resto. Ad esempio, il divisore di 4 è 2 e 36 è 4, 6, 9. Un multiplo di un intero X è un numero Y divisibile per X senza resto. Ad esempio, 3 è un multiplo di 15 e 6 è un multiplo di 12.
Per ogni coppia di numeri possiamo trovare i relativi divisori e multipli comuni. Ad esempio, per 6 e 9, il multiplo comune è 18 e il divisore comune è 3. Ovviamente, le coppie possono avere diversi divisori e multipli, quindi i calcoli utilizzano il divisore più grande MCD e il multiplo più piccolo LCM.
Il minimo divisore non ha significato, poiché per qualsiasi numero è sempre uno. Anche il multiplo più grande non ha senso, poiché la sequenza dei multipli va all'infinito.
Trovare MCD
Esistono molti metodi per trovare il massimo comun divisore, i più famosi dei quali sono:
- ricerca sequenziale di divisori, selezione di quelli comuni per una coppia e ricerca del più grande;
- scomposizione dei numeri in fattori indivisibili;
- Algoritmo euclideo;
- algoritmo binario.
Oggi nelle istituzioni educative i metodi più popolari sono la scomposizione in fattori primi e l'algoritmo euclideo. Quest'ultimo, a sua volta, viene utilizzato per risolvere le equazioni diofantee: la ricerca del MCD è necessaria per verificare la possibilità di risoluzione dell'equazione in numeri interi.
Trovare il NOC
Il minimo comune multiplo è determinato anche mediante ricerca sequenziale o scomposizione in fattori indivisibili. Inoltre, è facile trovare il MCM se è già stato determinato il massimo divisore. Per i numeri X e Y, il MCM e il MCD sono legati dalla seguente relazione:
LCD(X,Y) = X × Y / MCD(X,Y).
Ad esempio, se MCM(15,18) = 3, allora MCM(15,18) = 15 × 18 / 3 = 90. L'esempio più ovvio di utilizzo di MCM è trovare il denominatore comune, che è il minimo comune multiplo di date frazioni.
Numeri del coprime
Se una coppia di numeri non ha divisori comuni, allora tale coppia si dice coprima. Il mcd per tali coppie è sempre uguale a uno e, in base alla connessione tra divisori e multipli, il mcd per le coppie coprime è uguale al loro prodotto. Ad esempio, i numeri 25 e 28 sono primi tra loro, perché non hanno divisori comuni, e MCM(25, 28) = 700, che corrisponde al loro prodotto. Due numeri indivisibili saranno sempre primi tra loro.
Divisore comune e calcolatrice multipla
Usando la nostra calcolatrice puoi calcolare MCD e MCM per un numero arbitrario di numeri tra cui scegliere. I compiti sul calcolo dei divisori comuni e dei multipli si trovano nell'aritmetica di 5a e 6a elementare, ma MCD e LCM sono concetti chiave in matematica e sono utilizzati nella teoria dei numeri, nella planimetria e nell'algebra comunicativa.
Esempi di vita reale
Denominatore comune delle frazioni
Il minimo comune multiplo viene utilizzato per trovare il denominatore comune di più frazioni. Diciamo che in un problema aritmetico devi sommare 5 frazioni:
1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.
Per sommare le frazioni, l'espressione deve essere ridotta a un denominatore comune, il che si riduce al problema di trovare il MCM. Per fare ciò, seleziona 5 numeri nella calcolatrice e inserisci i valori dei denominatori nelle celle corrispondenti. Il programma calcolerà il MCM (8, 9, 12, 15, 18) = 360. Ora devi calcolare fattori aggiuntivi per ciascuna frazione, che sono definiti come il rapporto tra il MCM e il denominatore. Quindi i moltiplicatori aggiuntivi sarebbero:
- 360/8 = 45
- 360/9 = 40
- 360/12 = 30
- 360/15 = 24
- 360/18 = 20.
Successivamente moltiplichiamo tutte le frazioni per il corrispondente fattore aggiuntivo e otteniamo:
45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.
Possiamo facilmente sommare tali frazioni e ottenere il risultato come 159/360. Riduciamo la frazione di 3 e vediamo la risposta finale: 53/120.
Risoluzione delle equazioni diofantee lineari
Le equazioni diofantee lineari sono espressioni della forma ax + by = d. Se il rapporto d / mcd(a, b) è un numero intero, l'equazione è risolvibile in numeri interi. Controlliamo un paio di equazioni per vedere se hanno una soluzione intera. Per prima cosa controlliamo l'equazione 150x + 8y = 37. Usando una calcolatrice, troviamo MCD (150,8) = 2. Dividere 37/2 = 18,5. Il numero non è un intero, quindi l'equazione non ha radici intere.
Controlliamo l'equazione 1320x + 1760y = 10120. Utilizziamo una calcolatrice per trovare MCD(1320, 1760) = 440. Dividiamo 10120/440 = 23. Di conseguenza, otteniamo un numero intero, quindi l'equazione diofantea è risolvibile in coefficienti interi .
Conclusione
MCD e MCM svolgono un ruolo importante nella teoria dei numeri e i concetti stessi sono ampiamente utilizzati in un'ampia varietà di aree della matematica. Utilizza la nostra calcolatrice per calcolare i maggiori divisori e i minimi multipli di qualsiasi numero di numeri.
Indietro avanti
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Gli studenti della scuola secondaria incontrano i concetti di massimo comune divisore (MCD) e minimo comune multiplo (LCM) in prima media. Questo argomento è sempre difficile da capire. I bambini spesso confondono questi concetti e non capiscono perché debbano essere studiati. Recentemente, nella letteratura scientifica popolare, ci sono state affermazioni isolate secondo cui questo materiale dovrebbe essere escluso dal curriculum scolastico. Penso che questo non sia del tutto vero, ed è necessario studiarlo, se non in classe, poi durante le ore extrascolastiche durante le lezioni delle componenti scolastiche, poiché contribuisce allo sviluppo del pensiero logico negli scolari, aumentando la velocità delle operazioni computazionali, e la capacità di risolvere i problemi utilizzando metodi meravigliosi.
Nell'addizione e sottrazione di frazioni con denominatori diversi insegniamo ai bambini a trovare il denominatore comune di due o più numeri. Ad esempio, devi aggiungere le frazioni 1/3 e 1/5. Gli studenti possono facilmente trovare un numero divisibile per 3 e 5 senza resto. Questo numero è 15. In effetti, se i numeri sono piccoli, il loro denominatore comune è facile da trovare se conosci bene la tavola pitagorica. Uno dei bambini nota che questo numero è il prodotto dei numeri 3 e 5. I bambini ritengono che in questo modo sia sempre possibile trovare un denominatore comune ai numeri. Ad esempio, sottrai le frazioni 7/18 e 5/24. Troviamo il prodotto dei numeri 18 e 24. È uguale a 432. Abbiamo già ricevuto un numero elevato e se è necessario effettuare ulteriori calcoli (soprattutto esempi per tutte le azioni), aumenta la probabilità di un errore. Ma il minimo comune multiplo dei numeri trovato (LCM), che in questo caso è equivalente al minimo comune denominatore (LCD) - il numero 72 - faciliterà significativamente i calcoli e porterà a una soluzione più rapida dell'esempio, risparmiando così il lavoro. tempo assegnato per portare a termine questo compito, che gioca un ruolo importante quando si effettuano prove ed esami finali, soprattutto durante la certificazione finale.
Quando studi l'argomento "Riduzione delle frazioni", puoi muoverti in sequenza dividendo il numeratore e il denominatore di una frazione per lo stesso numero naturale, utilizzando i segni di divisibilità dei numeri, ottenendo infine una frazione irriducibile. Ad esempio, è necessario ridurre la frazione 128/344. Per prima cosa dividiamo il numeratore e il denominatore della frazione per il numero 2, otteniamo la frazione 64/172. Ancora una volta, dividiamo il numeratore e il denominatore della frazione risultante per 2, otteniamo la frazione 32/86. Dividiamo nuovamente il numeratore e il denominatore della frazione per 2, otteniamo la frazione irriducibile 16/43. Ma ridurre una frazione può essere fatto molto più facilmente se troviamo il massimo comun divisore dei numeri 128 e 344. MCD(128, 344) = 8. Dividendo il numeratore e il denominatore della frazione per questo numero, otteniamo immediatamente una frazione irriducibile .
Dobbiamo mostrare ai bambini diversi modi per trovare il massimo comune divisore (MCD) e il minimo comune multiplo (LCD) dei numeri. Nei casi semplici, è conveniente trovare il massimo comune divisore (MCD) e il minimo comune multiplo (LCD) dei numeri mediante una semplice enumerazione. Man mano che i numeri diventano più grandi, puoi utilizzare la scomposizione in fattori primi. Il libro di testo della prima media (autore N.Ya. Vilenkin) mostra il seguente metodo per trovare il massimo comun divisore (MCD) dei numeri. Scomponiamo i numeri in fattori primi:
- 16 = 2*2*2*2
- 120 = 2*2*2*3*5
Quindi, dai fattori inclusi nell'espansione di uno di questi numeri, cancelliamo quelli che non sono inclusi nell'espansione dell'altro numero. Il prodotto dei restanti fattori sarà il massimo comun divisore di questi numeri. In questo caso si tratta del numero 8. Per esperienza personale sono convinto che per i bambini sia più chiaro se nelle scomposizioni dei numeri sottolineiamo gli stessi fattori e poi in una delle scomposizioni troviamo il prodotto di fattori sottolineati. Questo è il massimo comun divisore di questi numeri. In prima media i bambini sono attivi e curiosi. Puoi impostare loro il seguente compito: prova a utilizzare il metodo descritto per trovare il massimo comun divisore dei numeri 343 e 287. Non è immediatamente ovvio come fattorizzarli in fattori primi. E qui puoi parlare loro del meraviglioso metodo inventato dagli antichi greci, che permette di cercare il massimo comun divisore (MCD) senza scomporlo in fattori primi. Questo metodo per trovare il massimo comun divisore fu descritto per la prima volta nel libro Elementi di Euclide. Si chiama algoritmo euclideo. Consiste nel seguente: Innanzitutto, dividi il numero più grande per quello più piccolo. Se si ottiene un resto, dividere il numero più piccolo per il resto. Se si ottiene nuovamente un resto, dividere il primo resto per il secondo. Continua a dividere in questo modo finché il resto non diventa zero. L'ultimo divisore è il massimo comun divisore (MCD) di questi numeri.
Torniamo al nostro esempio e, per chiarezza, scriviamo la soluzione sotto forma di tabella.
| Dividendo | Divisore | Privato | Resto |
| 343 | 287 | 1 | 56 |
| 287 | 56 | 5 | 7 |
| 56 | 7 | 8 | 0 |
Quindi mcd(344.287) = 7
Come trovare il minimo comune multiplo (LCM) degli stessi numeri? Esiste un modo per questo che non richieda la previa scomposizione di questi numeri in fattori primi? Si scopre che esiste, ed è molto semplice. Dobbiamo moltiplicare questi numeri e dividere il prodotto per il massimo comun divisore (MCD) che abbiamo trovato. In questo esempio, il prodotto dei numeri è 98441. Dividilo per 7 e ottieni il numero 14063. LCM(343,287) = 14063.
Uno degli argomenti difficili in matematica è risolvere i problemi con le parole. Dobbiamo mostrare agli studenti come i concetti di Massimo Comune Divisore (MCD) e Minimo Comune Multiplo (MCM) possono essere utilizzati per risolvere problemi che a volte sono difficili da risolvere nel modo consueto. Qui è opportuno considerare con gli studenti, insieme ai compiti proposti dagli autori del libro di testo scolastico, compiti antichi e divertenti che sviluppano la curiosità dei bambini e aumentano l'interesse per lo studio di questo argomento. La padronanza abile di questi concetti consente agli studenti di vedere una bella soluzione a un problema non standard. E se l’umore del bambino migliora dopo aver risolto un buon problema, questo è un segno di lavoro riuscito.
Pertanto, studiando a scuola concetti come “Massimo Comune Divisore (MCD)” e “Minimo Comune Multiplo (LCD)” dei numeri
Consente di risparmiare tempo assegnato per il completamento del lavoro, il che porta ad un aumento significativo del volume delle attività completate;
Aumenta la velocità e la precisione dell'esecuzione delle operazioni aritmetiche, il che porta a una significativa riduzione del numero di errori di calcolo;
Ti consente di trovare modi meravigliosi per risolvere problemi di testo non standard;
Sviluppa la curiosità degli studenti, amplia i loro orizzonti;
Crea i prerequisiti per la formazione di una personalità creativa versatile.
