С ними находятся внутри логарифмов.
Примеры:
\(\log_3x≥\log_39\)
\(\log_3 {(x^2-3)}< \log_3{(2x)}\)
\(\log_{x+1}{(x^2+3x-7)}>2\)
\(\lg^2{(x+1)}+10≤11 \lg{(x+1)}\)
Как решать логарифмические неравенства:
Любое логарифмическое неравенство нужно стремиться привести к виду \(\log_a{f(x)} ˅ \log_a{g(x)}\) (символ \(˅\) означает любой из ). Такой вид позволяет избавиться от логарифмов и их оснований, сделав переход к неравенству выражений под логарифмами, то есть к виду \(f(x) ˅ g(x)\).
Но при выполнении этого перехода есть одна очень важная тонкость:
\(-\) если - число и оно больше 1 - знак неравенства при переходе остается прежним,
\(-\) если основание - число большее 0, но меньшее 1 (лежит между нулем и единицей), то знак неравенства должен меняться на противоположный, т.е.
\(\log_2{(8-x)}<1\) Решение: |
\(\log\)\(_{0,5}\)
\((2x-4)\)≥\(\log\)\(_{0,5}\)
\({(x+1)}\) Решение: |
Очень важно! В любом неравенстве переход от вида \(\log_a{f(x)} ˅ \log_a{g(x)}\) к сравнению выражений под логарифмами можно делать только если:
Пример . Решить неравенство: \(\log\)\(≤-1\)
Решение:
\(\log\)\(_{\frac{1}{3}}{\frac{3x-2}{2x-3}}\) \(≤-1\) |
Выпишем ОДЗ. |
ОДЗ: \(\frac{3x-2}{2x-3}\)
\(>0\) |
|
\(\frac{3x-2-3(2x-3)}{2x-3}\) \(≥\) \(0\) |
Раскрываем скобки, приводим . |
\(\frac{-3x+7}{2x-3}\) \(≥\) \(0\) |
Умножаем неравенство на \(-1\), не забыв при этом перевернуть знак сравнения. |
\(\frac{3x-7}{2x-3}\) \(≤\) \(0\) |
|
\(\frac{3(x-\frac{7}{3})}{2(x-\frac{3}{2})}\) \(≤\) \(0\) |
Построим числовую ось и отметим на ней точки \(\frac{7}{3}\)
и \(\frac{3}{2}\)
. Обратите внимание, точка из знаменателя – выколота, несмотря на то, что неравенство нестрогое. Дело в том, что эта точка не будет решением, так как при подстановке в неравенство приведет нас к делению на ноль. |
|
Теперь на ту же числовую ось наносим ОДЗ и записываем в ответ тот промежуток, который попадает в ОДЗ. |
|
Записываем окончательный ответ. |
Пример . Решить неравенство: \(\log^2_3x-\log_3x-2>0\)
Решение:
\(\log^2_3x-\log_3x-2>0\) |
Выпишем ОДЗ. |
ОДЗ: \(x>0\) |
Приступим к решению. |
Решение: \(\log^2_3x-\log_3x-2>0\) |
Перед нами типичное квадратно-логарифмическое неравенство. Делаем . |
\(t=\log_3x\) |
Раскладываем левую часть неравенства на . |
\(D=1+8=9\) |
|
Теперь нужно вернуться к исходной переменной – иксу. Для этого перейдем к , имеющей такое же решение, и сделаем обратную замену. |
|
\(\left[ \begin{gathered} t>2 \\ t<-1 \end{gathered} \right.\) \(\Leftrightarrow\) \(\left[ \begin{gathered} \log_3x>2 \\ \log_3x<-1 \end{gathered} \right.\) |
Преобразовываем \(2=\log_39\), \(-1=\log_3\frac{1}{3}\). |
\(\left[ \begin{gathered} \log_3x>\log_39 \\ \log_3x<\log_3\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\) |
Делаем переход к сравнению аргументов. Основания у логарифмов больше \(1\), поэтому знак неравенств не меняется. |
\(\left[ \begin{gathered} x>9 \\ x<\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\) |
Соединим решение неравенства и ОДЗ на одном рисунке. |
|
Запишем ответ. |
Введение
Логарифмы были придуманы для ускорения и упрощения вычислений. Идея логарифма, т. е. идея выражать числа в виде степени одного и того же основания, принадлежит Михаилу Штифелю. Но во времена Штифеля математика была не столь развита и идея логарифма не нашла своего развития. Логарифмы были изобретены позже одновременно и независимо друг от друга шотландским учёным Джоном Непером(1550-1617) и швейцарцем Иобстом Бюрги(1552-1632) Первым опубликовал работу Непер в 1614г. под названием «Описание удивительной таблицы логарифмов», теория логарифмов Непера была дана в достаточно полном объёме, способ вычисления логарифмов дан наиболее простой, поэтому заслуги Непера в изобретении логарифмов больше, чем у Бюрги. Бюрги работал над таблицами одновременно с Непером, но долгое время держал их в секрете и опубликовал лишь в 1620г. Идеей логарифма Непер овладел около1594г. хотя таблицы опубликовал через 20 лет. Вначале он называл свои логарифмы «искусственными числами» и уже потом предложил эти «искусственные числа» называть одним словом «логарифм», который в переводе с греческого- «соотнесённые числа», взятые одно из арифметической прогресси, а другое из специально подобранной к ней геометрической прогресси. Первые таблицы на русском языке были изданы в1703г. при участии замечательного педагога 18в. Л. Ф Магницкого. В развитии теории логарифмов большое значение имели работы петербургского академика Леонарда Эйлера. Он первым стал рассматривать логарифмирование как действие, обратное возведению в степень, он ввёл в употребление термины «основание логарифма» и «мантисса» Бригс составил таблицы логарифмов с основанием 10. Десятичные таблицы более удобны для практического употребления, теория их проще, чем у логарифмов Непера. Поэтому десятичные логарифмы иногда называют бригсовыми. Термин «характеристика» ввёл Бригс.
В те далекие времена, когда мудрецы впервые стали задумываться о равенствах содержащих неизвестные величины, наверное, еще не было ни монет, ни кошельков. Но зато были кучи, а также горшки, корзины, которые прекрасно подходили на роль тайников-хранилищ, вмещающих неизвестное количество предметов. В древних математических задачах Междуречья, Индии, Китая, Греции неизвестные величины выражали число павлинов в саду, количество быков в стаде, совокупность вещей, учитываемых при разделе имущества. Хорошо обученные науке счета писцы, чиновники и посвященные в тайные знания жрецы довольно успешно справлялись с такими задачами.
Дошедшие до нас источники свидетельствуют, что древние ученые владели какими-то общими приемами решения задач с неизвестными величинами. Однако ни в одном папирусе, ни в одной глиняной табличке не дано описания этих приемов. Авторы лишь изредка снабжали свои числовые выкладки скупыми комментариями типа: "Смотри!", "Делай так!", "Ты правильно нашел". В этом смысле исключением является "Арифметика" греческого математика Диофанта Александрийского (III в.) – собрание задач на составление уравнений с систематическим изложением их решений.
Однако первым руководством по решению задач, получившим широкую известность, стал труд багдадского ученого IX в. Мухаммеда бен Мусы аль-Хорезми. Слово "аль-джебр" из арабского названия этого трактата – "Китаб аль-джебер валь-мукабала" ("Книга о восстановлении и противопоставлении") – со временем превратилось в хорошо знакомое всем слово "алгебра", а само сочинение аль-Хорезми послужило отправной точкой в становлении науки о решении уравнений.
Логарифмические уравнения и неравенства
1. Логарифмические уравнения
Уравнение, содержащее неизвестное под знаком логарифма или в его основании, называется логарифмическим уравнением.
Простейшим логарифмическим уравнением является уравнение вида
log a x = b . (1)
Утверждение 1. Если a > 0, a ≠ 1, уравнение (1) при любом действительном b имеет единственное решение x = a b .
Пример 1. Решить уравнения:
a) log 2 x = 3, b) log 3 x = -1, c)
Решение. Используя утверждение 1, получим a) x = 2 3 или x = 8; b) x = 3 -1 или x = 1 / 3 ; c)
или x = 1.Приведем основные свойства логарифма.
Р1. Основное логарифмическое тождество:
где a > 0, a ≠ 1 и b > 0.
Р2. Логарифм произведения положительных сомножителей равен сумме логарифмов этих сомножителей:
log a N 1 ·N 2 = log a N 1 + log a N 2 (a > 0, a ≠ 1, N 1 > 0, N 2 > 0).
Замечание. Если N 1 ·N 2 > 0, тогда свойство P2 примет вид
log a N 1 ·N 2 = log a |N 1 | + log a |N 2 | (a > 0, a ≠ 1, N 1 ·N 2 > 0).
Р3. Логарифм частного двух положительных чисел равен разности логарифмов делимого и делителя
(a > 0, a ≠ 1, N 1 > 0, N 2 > 0).Замечание. Если
, (что равносильно N 1 N 2 > 0) тогда свойство P3 примет вид (a > 0, a ≠ 1, N 1 N 2 > 0).P4. Логарифм степени положительного числа равен произведению показателя степени на логарифм этого числа:
log a N k = k log a N (a > 0, a ≠ 1, N > 0).
Замечание. Если k - четное число (k = 2s ), то
log a N 2s = 2s log a |N | (a > 0, a ≠ 1, N ≠ 0).
P5. Формула перехода к другому основанию:
(a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1, N > 0),в частности, если N = b , получим
(a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1). (2)Используя свойства P4 и P5, легко получить следующие свойства
(a > 0, a ≠ 1, b > 0, c ≠ 0), (3) (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c ≠ 0), (4) (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c ≠ 0), (5)и, если в (5) c - четное число (c = 2n ), имеет место
(b > 0, a ≠ 0, |a | ≠ 1). (6)Перечислим и основные свойства логарифмической функции f (x ) = log a x :
1. Область определения логарифмической функции есть множество положительных чисел.
2. Область значений логарифмической функции - множество действительных чисел.
3. При a > 1 логарифмическая функция строго возрастает (0 < x 1 < x 2 log a x 1 < log a x 2), а при 0 < a < 1, - строго убывает (0 < x 1 < x 2 log a x 1 > log a x 2).
4. log a 1 = 0 и log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1).
5. Если a > 1, то логарифмическая функция отрицательна при x (0;1) и положительна при x (1;+∞), а если 0 < a < 1, то логарифмическая функция положительна при x (0;1) и отрицательна при x (1;+∞).
6. Если a > 1, то логарифмическая функция выпукла вверх, а если a (0;1) - выпукла вниз.
Следующие утверждения (см., например, ) используются при решении логарифмических уравнений.
Неравенство называется логарифмическим, если в нём содержится логарифмическая функция.
Методы решения логарифмических неравенств не отличаются от , за исключением двух вещей.
Во-первых, при переходе от логарифмического неравенства к неравенству подлогарифмических функций следует следить за знаком получающегося неравенства . Он подчиняется следующему правилу.
Если основание логарифмической функции больше $1$, то при переходе от логарифмического неравенства к неравенству подлогарифмических функций знак неравенства сохраняется, а если же меньше $1$, то меняется на противоположный.
Во-вторых, решение любого неравенства – промежуток, а, значит, в конце решения неравенства подлогарифмических функций необходимо составить систему из двух неравенств: первым неравенством этой системы будет неравенство подлогарифмических функций, а вторым – промежуток области определения логарифмических функций, входящих в логарифмическое неравенство.
Практика.
Решим неравенства:
1. $\log_{2}{(x+3)} \geq 3.$
$D(y): \ x+3>0.$
$x \in (-3;+\infty)$
Основание логарифма равно $2>1$, поэтому знак не меняется. Пользуясь определением логарифма, получим:
$x+3 \geq 2^{3},$
$x \in }