Nell'ultima lezione abbiamo padroneggiato con successo (o ripetuto, a seconda di chi) i concetti chiave di tutta la trigonometria. Questo cerchio trigonometrico , angolo su un cerchio , seno e coseno di questo angolo e anche masterizzato segni di funzioni trigonometriche per quarti . L'abbiamo padroneggiato in dettaglio. Sulle dita, verrebbe da dire.
Ma questo non basta ancora. Per applicare con successo tutti questi semplici concetti nella pratica, abbiamo bisogno di un'altra abilità utile. Vale a dire: corretto lavorare con gli angoli nella trigonometria. Senza questa abilità in trigonometria, non c'è modo. Anche negli esempi più primitivi. Perché? Sì, perché l'angolo è la figura operativa chiave in tutta la trigonometria! No, non funzioni trigonometriche, non seno e coseno, non tangente e cotangente, cioè l'angolo stesso. Nessun angolo significa nessuna funzione trigonometrica, sì...
Come lavorare con gli angoli su un cerchio? Per fare questo dobbiamo cogliere con fermezza due punti.
1) Come Gli angoli si misurano su un cerchio?
2) Che cosa vengono contati (misurati)?
La risposta alla prima domanda è l'argomento della lezione di oggi. Tratteremo la prima domanda in dettaglio proprio qui e ora. Non darò qui la risposta alla seconda domanda. Perché è abbastanza sviluppato. Proprio come la seconda domanda stessa è molto sfuggente, sì.) Non entrerò ancora nei dettagli. Questo è l'argomento della prossima lezione separata.
Iniziamo?
Come si misurano gli angoli su un cerchio? Angoli positivi e negativi.
Chi legge il titolo del paragrafo potrebbe già avere i capelli ritti. Come mai?! Angoli negativi? È possibile?
Al negativo numeri Ci siamo già abituati. Possiamo rappresentarli sull'asse dei numeri: a destra dello zero sono positivi, a sinistra dello zero sono negativi. Sì, e periodicamente guardiamo il termometro fuori dalla finestra. Soprattutto in inverno, al freddo.) E i soldi al telefono sono in meno (cioè dovere) a volte se ne vanno. Tutto questo è familiare.
E gli angoli? Si scopre che gli angoli negativi in matematica ci sono anche! Tutto dipende da come misurare proprio questo angolo... no, non sulla linea numerica, ma sul cerchio numerico! Cioè, su un cerchio. Il cerchio: eccolo, un analogo della linea numerica in trigonometria!
COSÌ, Come si misurano gli angoli su un cerchio? Non c'è niente che possiamo fare, dovremo prima disegnare proprio questo cerchio.
Farò questo bellissimo disegno:
È molto simile alle immagini dell'ultima lezione. Ci sono assi, c'è un cerchio, c'è un angolo. Ma ci sono anche nuove informazioni.
Ho anche aggiunto i numeri 0°, 90°, 180°, 270° e 360° sugli assi. Ora questo è più interessante.) Che tipo di numeri sono questi? Giusto! Questi sono i valori dell'angolo misurati dal nostro lato fisso che cadono agli assi coordinati. Ricordiamo che il lato fisso dell'angolo è sempre strettamente legato al semiasse positivo OX. E qualsiasi angolo in trigonometria viene misurato proprio da questo semiasse. Questo punto di partenza fondamentale per gli angoli deve essere tenuto ben presente. E gli assi... si intersecano ad angolo retto, giusto? Quindi aggiungiamo 90° in ogni trimestre.
E altro ancora aggiunto freccia Rossa. Con un vantaggio. Il rosso è fatto apposta per attirare l'attenzione. Ed è ben impresso nella mia memoria. Perché questo deve essere ricordato in modo affidabile.) Cosa significa questa freccia?
Quindi si scopre che se giriamo l'angolo lungo la freccia con un segno più(in senso antiorario, secondo la numerazione dei quarti), quindi l'angolo sarà considerato positivo! Ad esempio, la figura mostra un angolo di +45°. Si tenga presente inoltre che anche gli angoli assiali 0°, 90°, 180°, 270° e 360° vengono riavvolti in direzione positiva! Segui la freccia rossa.
Ora guardiamo un'altra immagine:
Qui è quasi tutto uguale. Sono numerati solo gli angoli sugli assi invertito. Senso orario. E hanno un segno meno.) Ancora disegnato freccia blu. Anche con un segno meno. Questa freccia è la direzione degli angoli negativi sul cerchio. Ce lo mostra se rimandiamo il nostro angolo senso orario, Quello l'angolo sarà considerato negativo. Ad esempio, ho mostrato un angolo di -45°.
A proposito, tieni presente che la numerazione dei trimestri non cambia mai! Non importa se spostiamo gli angoli in più o in meno. Sempre rigorosamente in senso antiorario.)
Ricordare:
1. Il punto di partenza per gli angoli è dal semiasse positivo OX. Secondo il tempo – “meno”, contro il tempo – “più”.
2. La numerazione dei quarti è sempre in senso antiorario, indipendentemente dalla direzione in cui vengono calcolati gli angoli.
A proposito, etichettare gli angoli sugli assi 0°, 90°, 180°, 270°, 360°, disegnando ogni volta un cerchio, non è affatto obbligatorio. Questo viene fatto esclusivamente per il bene di comprendere il punto. Ma questi numeri devono essere presenti nella tua testa quando si risolve qualsiasi problema di trigonometria. Perché? Sì, perché questa conoscenza di base fornisce risposte a tante altre domande in tutta la trigonometria! La domanda più importante è In quale quarto rientra l'angolo che ci interessa? Che tu ci creda o no, rispondere correttamente a questa domanda risolve la parte del leone di tutti gli altri problemi di trigonometria. Affronteremo questo importante compito (distribuzione degli angoli in quarti) nella stessa lezione, ma un po' più tardi.
I valori degli angoli che giacciono sugli assi delle coordinate (0°, 90°, 180°, 270° e 360°) devono essere ricordati! Ricordatelo fermamente, finché non diventerà automatico. E sia un vantaggio che uno svantaggio.
Ma da questo momento iniziano le prime sorprese. E insieme a loro, domande difficili rivolte a me, sì...) Cosa succede se su un cerchio c'è un angolo negativo coincide con il positivo? Si scopre che lo stesso punto su un cerchio può essere indicato sia con un angolo positivo che negativo???
Assolutamente giusto! Questo è vero.) Ad esempio, un angolo positivo di +270° occupa un cerchio stessa situazione , equivale ad un angolo negativo di -90°. Oppure, ad esempio, su un cerchio occorrerà un angolo positivo di +45° stessa situazione , uguale all'angolo negativo -315°.
Guardiamo il prossimo disegno e vediamo tutto:
Allo stesso modo, un angolo positivo di +150° cadrà nello stesso punto di un angolo negativo di -210°, un angolo positivo di +230° cadrà nello stesso punto di un angolo negativo di -130°. E così via…
E ora cosa posso fare? Come contare esattamente gli angoli, se puoi farlo in questo e quello? Che è corretto?
Risposta: in tutto corretto! La matematica non vieta nessuna delle due direzioni per il conteggio degli angoli. E la scelta di una direzione specifica dipende esclusivamente dal compito. Se il compito non dice nulla in testo semplice sul segno dell'angolo (ad esempio "definire il più grande negativo angolo" ecc.), poi lavoriamo con gli angoli che ci risultano più convenienti.
Naturalmente, ad esempio, in argomenti interessanti come le equazioni trigonometriche e le disuguaglianze, la direzione del calcolo dell'angolo può avere un enorme impatto sulla risposta. E negli argomenti rilevanti considereremo queste insidie.
Ricordare:
Qualsiasi punto su un cerchio può essere designato da un angolo positivo o negativo. Chiunque! Qualunque cosa vogliamo.
Ora pensiamo a questo. Abbiamo scoperto che un angolo di 45° è esattamente uguale ad un angolo di -315°? Come ho scoperto questi stessi 315° ? Non riesci a indovinare? SÌ! Attraverso una rotazione completa.) A 360°. Abbiamo un angolo di 45°. Quanto tempo occorre per completare una rotazione completa? Sottrai 45° da 360° - quindi otteniamo 315° . Muoviamoci nella direzione negativa e otteniamo un angolo di -315°. Ancora non è chiaro? Quindi guarda di nuovo l'immagine qui sopra.
E questo dovrebbe essere sempre fatto quando si convertono gli angoli positivi in negativi (e viceversa): disegna un cerchio, segna circa dato un angolo, calcoliamo quanti gradi mancano per compiere un giro completo, e spostiamo la differenza risultante nella direzione opposta. È tutto.)
Cos'altro c'è di interessante negli angoli che occupano la stessa posizione su un cerchio, secondo te? E il fatto che in tali angoli esattamente la stessa seno, coseno, tangente e cotangente! Sempre!
Per esempio:
Sin45° = sin(-315°)
Cos120° = cos(-240°)
Tg249° = tg(-111°)
Ctg333° = ctg(-27°)
Ma questo è estremamente importante! Per quello? Sì, tutti per la stessa cosa!) Per semplificare le espressioni. Perché semplificare le espressioni è una procedura chiave per una soluzione di successo Qualunque compiti di matematica. E anche in trigonometria.
Quindi, abbiamo capito la regola generale per contare gli angoli su un cerchio. Bene, se iniziamo a parlare di giri completi, di quarti di giro, allora è il momento di girare e disegnare proprio questi angoli. Disegniamo?)
Iniziamo con positivo angoli Saranno più facili da disegnare.
Disegniamo angoli entro un giro (tra 0° e 360°).
Disegniamo, ad esempio, un angolo di 60°. Qui tutto è semplice, senza problemi. Disegniamo gli assi delle coordinate e un cerchio. Puoi farlo direttamente a mano, senza compasso o righello. Disegnamo schematicamente: Non disegneremo con te. Non è necessario rispettare alcun GOST, non sarai punito.)
Puoi (tu stesso) contrassegnare i valori dell'angolo sugli assi e puntare la freccia nella direzione contro il tempo. Dopotutto, risparmieremo come vantaggio?) Non devi farlo, ma devi tenere tutto nella tua testa.
E ora disegniamo il secondo lato (mobile) dell'angolo. In quale trimestre? Nel primo, ovviamente! Perché 60 gradi sono strettamente compresi tra 0° e 90°. Pareggiamo quindi nel primo quarto. Ad angolo circa 60 gradi rispetto al lato fisso. Come contare circa 60 gradi senza goniometro? Facilmente! 60° lo sono due terzi di un angolo retto! Dividiamo mentalmente il primo diavolo del cerchio in tre parti, prendendone per noi i due terzi. E disegniamo... Quanto effettivamente arriviamo a quel punto (se attacchi un goniometro e misuri) - 55 gradi o 64 - non importa! È importante che sia ancora da qualche parte circa 60°.
Otteniamo l'immagine:
È tutto. E non erano necessari strumenti. Sviluppiamo il nostro occhio! Ti tornerà utile nei problemi di geometria.) Questo disegno antiestetico è indispensabile quando devi scarabocchiare rapidamente un cerchio e un angolo, senza pensare veramente alla bellezza. Ma allo stesso tempo scarabocchiare Giusto, senza errori, con tutte le informazioni necessarie. Ad esempio, come aiuto nella risoluzione di equazioni e disequazioni trigonometriche.
Disegniamo ora un angolo, ad esempio 265°. Scopriamo dove potrebbe trovarsi? Ebbene, è chiaro che non nel primo quarto e nemmeno nel secondo: finiscono a 90 e 180 gradi. Puoi capire che 265° è 180° più altri 85°. Cioè al semiasse negativo OX (dove 180°) bisogna sommare circa 85°. Oppure, ancora più semplice, supponiamo che 265° non raggiunga il semiasse negativo OY (dove si trova 270°) qualche sfortunato 5°. Insomma nel terzo quarto ci sarà questo angolo. Molto vicino al semiasse negativo OY, a 270 gradi, ma sempre nel terzo!
Disegnamo:
Anche in questo caso non è richiesta una precisione assoluta. Supponiamo che in realtà questo angolo risulti essere, diciamo, 263 gradi. Ma veniamo alla domanda più importante (quale trimestre?) abbiamo risposto correttamente. Perché questa è la domanda più importante? Sì, perché qualsiasi lavoro con un angolo in trigonometria (non importa se disegniamo questo angolo o meno) inizia con la risposta esattamente a questa domanda! Sempre. Se ignori questa domanda o provi a rispondere mentalmente, gli errori sono quasi inevitabili, sì... Ne hai bisogno?
Ricordare:
Qualsiasi lavoro con un angolo (incluso il disegno di questo stesso angolo su un cerchio) inizia sempre con la determinazione del quarto in cui cade questo angolo.
Ora, spero che tu possa rappresentare accuratamente gli angoli, ad esempio 182°, 88°, 280°. IN corretto quarti. Nel terzo, primo e quarto, se quello...)
Il quarto quarto termina con un angolo di 360°. Questa è una rivoluzione completa. È chiaro che questo angolo occupa sul cerchio la stessa posizione di 0° (cioè l'origine). Ma gli angoli non finiscono qui, sì...
Cosa fare con angoli maggiori di 360°?
"Esistono davvero cose del genere?"- tu chiedi. Succedono! C'è, ad esempio, un angolo di 444°. E a volte, diciamo, un angolo di 1000°. Ci sono tutti i tipi di angoli.) È solo che visivamente angoli così esotici sono percepiti un po' più difficili degli angoli a cui siamo abituati all'interno di una rivoluzione. Ma devi anche essere in grado di disegnare e calcolare tali angoli, sì.
Per disegnare correttamente tali angoli su un cerchio, devi fare la stessa cosa: scoprilo In quale quarto rientra l'angolo che ci interessa? Qui la capacità di determinare con precisione il quarto è molto più importante che per gli angoli da 0° a 360°! La procedura per determinare il trimestre stesso è complicata da un solo passaggio. Vedrai di cosa si tratta presto.
Quindi, ad esempio, dobbiamo capire in quale quadrante cade l'angolo di 444°. Iniziamo a girare. Dove? Un vantaggio, ovviamente! Ci hanno dato un angolo positivo! +444°. Giriamo, giriamo... L'abbiamo ruotato di un giro: abbiamo raggiunto i 360°.
Quanto tempo manca a 444°?Contiamo la coda rimanente:
444°-360° = 84°.
Quindi, 444° è una rotazione completa (360°) più altri 84°. Ovviamente questo è il primo trimestre. Quindi l'angolo 444° diminuisce nel primo trimestre. Metà della battaglia è fatta.
Ora non resta che rappresentare questo angolo. Come? Molto semplice! Facciamo un giro completo lungo la freccia rossa (più) e aggiungiamo altri 84°.
Come questo:
Qui non mi sono preoccupato di ingombrare il disegno: etichettando i quarti, disegnando gli angoli sugli assi. Tutte queste belle cose avrebbero dovuto essere nella mia testa da molto tempo.)
Ma ho usato una “lumaca” o una spirale per mostrare esattamente come si forma un angolo di 444° da angoli di 360° e 84°. La linea rossa tratteggiata rappresenta un giro completo. A cui vengono avvitati inoltre 84° (linea continua). A proposito, tieni presente che se questa rivoluzione completa viene scartata, ciò non influenzerà in alcun modo la posizione del nostro angolo!
Ma questo è importante! Posizione angolare 444° coincide completamente con una posizione angolare di 84°. Non ci sono miracoli, ecco come va a finire.)
È possibile scartare non una rivoluzione completa, ma due o più?
Perché no? Se l’angolo è elevato, non solo è possibile, ma addirittura necessario! L'angolo non cambierà! Più precisamente, l'angolo stesso cambierà, ovviamente, in grandezza. Ma la sua posizione sul cerchio non lo è assolutamente!) Ecco perché pieno rivoluzioni, che non importa quante copie aggiungi, non importa quante ne sottrai, finirai comunque allo stesso punto. Bello, non è vero?
Ricordare:
Se aggiungi (sottrai) qualsiasi angolo a un angolo Totale il numero di giri completi, la posizione dell'angolo originale sul cerchio NON cambierà!
Per esempio:
In quale quarto cade l'angolo di 1000°?
Nessun problema! Contiamo quante rivoluzioni complete si trovano in mille gradi. Una rivoluzione è di 360°, un'altra è già di 720°, la terza è di 1080°... Stop! Troppo! Ciò significa che si trova ad un angolo di 1000° due giri completi. Li eliminiamo da 1000° e calcoliamo il resto:
1000° - 2 360° = 280°
Quindi la posizione dell'angolo sulla circonferenza è 1000° lo stesso, come ad un angolo di 280°. Con cui è molto più piacevole lavorare.) E dove cade questo angolo? Cade nel quarto quarto: 270° (semiasse negativo OY) più altri dieci.
Disegnamo:
Qui non ho più disegnato due giri completi con una spirale tratteggiata: risulta essere troppo lunga. Ho appena disegnato la coda rimanente da zero, scartando Tutto turni aggiuntivi. È come se non esistessero affatto.)
Di nuovo. In senso buono, gli angoli 444° e 84°, così come 1000° e 280°, sono diversi. Ma per seno, coseno, tangente e cotangente questi angoli sono: lo stesso!
Come puoi vedere, per lavorare con angoli superiori a 360° è necessario determinarsi quante rivoluzioni complete si trovano in un dato angolo ampio. Questo è il passaggio aggiuntivo da eseguire per primo quando si lavora con tali angoli. Niente di complicato, vero?
Rifiutare rivoluzioni complete è, ovviamente, un'esperienza piacevole.) Ma in pratica, quando si lavora con angoli assolutamente terribili, sorgono difficoltà.
Per esempio:
In quale quarto cade l'angolo 31240°?
E allora, aggiungeremo 360 gradi molte, molte volte? È possibile, se non brucia troppo. Ma non possiamo solo sommare.) Possiamo anche dividere!
Quindi dividiamo il nostro enorme angolo in 360 gradi!
Con questa azione scopriremo esattamente quante rivoluzioni complete sono nascoste nei nostri 31240 gradi. Puoi dividerlo in un angolo, puoi (sussurrarti all'orecchio:)) su una calcolatrice.)
Otteniamo 31240:360 = 86,777777….
Il fatto che il numero si sia rivelato frazionario non è spaventoso. Solo noi Totale mi interessano i giri! Pertanto, non è necessario dividere completamente.)
Quindi, nel nostro carbone irsuto si trovano ben 86 rivoluzioni complete. Orrore…
Sarà in gradi86·360° = 30960°
Come questo. Questo è esattamente il numero di gradi che possono essere espulsi senza dolore da un dato angolo di 31240°. Resti:
31240° - 30960° = 280°
Tutto! La posizione dell'angolo 31240° è completamente identificata! Stesso posto di 280°. Quelli. quarto trimestre.) Penso che abbiamo già rappresentato questo angolo prima? Quando è stato disegnato l'angolo di 1000°?) Lì siamo andati anche a 280 gradi. Coincidenza.)
Quindi la morale di questa storia è:
Se ci viene data una prospettiva spaventosamente pesante, allora:
1. Determina quante rivoluzioni complete si trovano in questo angolo. Per fare ciò, dividi l'angolo originale per 360 ed elimina la parte frazionaria.
2. Contiamo quanti gradi ci sono nel numero di rivoluzioni risultante. Per fare ciò, moltiplica il numero di giri per 360.
3. Sottraiamo queste rivoluzioni dall'angolo originale e lavoriamo con il solito angolo compreso tra 0° e 360°.
Come lavorare con angoli negativi?
Nessun problema! Esattamente come quelli positivi, solo con una sola differenza. Quale? SÌ! Devi girare gli angoli rovescio, meno! Andando in senso orario.)
Disegniamo, ad esempio, un angolo di -200°. Innanzitutto, tutto è come al solito per gli angoli positivi: assi, cerchio. Disegniamo anche una freccia blu con un segno meno e segniamo diversamente gli angoli sugli assi. Naturalmente anche questi dovranno essere conteggiati in senso negativo. Saranno gli stessi angoli, aumentati di 90°, ma contati nella direzione opposta, al meno: 0°, -90°, -180°, -270°, -360°.
L'immagine sarà simile a questa:
Quando si lavora con angoli negativi si avverte spesso una sensazione di leggero smarrimento. Come mai?! Risulta che lo stesso asse è, diciamo, +90° e -270° allo stesso tempo? No, qui c'è qualcosa che non va...
Sì, tutto è pulito e trasparente! Sappiamo già che qualsiasi punto su un cerchio può essere chiamato angolo positivo o negativo! Assolutamente qualsiasi. Compreso su alcuni assi delle coordinate. Nel nostro caso abbiamo bisogno negativo calcolo dell'angolo. Quindi mettiamo tutti gli angoli al meno.)
Ora disegnare correttamente l'angolo -200° non è affatto difficile. Questo è -180° e meno altri 20°. Iniziamo a oscillare da zero a meno: voliamo attraverso il quarto quarto, manchiamo anche il terzo, arriviamo a -180°. Dove dovrei spendere i restanti venti? Sì, c'è tutto! Ogni ora.) L'angolo totale -200° rientra secondo trimestre.
Ora capisci quanto sia importante ricordare con fermezza gli angoli sugli assi delle coordinate?
Gli angoli sugli assi delle coordinate (0°, 90°, 180°, 270°, 360°) devono essere ricordati con precisione per determinare con precisione il quarto in cui cade l'angolo!
Cosa succede se l'angolo è ampio, con diversi giri completi? Va bene! Che differenza fa se queste rivoluzioni complete si trasformano in positivo o in negativo? Un punto su un cerchio non cambierà la sua posizione!
Per esempio:
In quale quarto cade l'angolo di -2000°?
Tutto uguale! Per prima cosa contiamo quante rivoluzioni complete si trovano in questo angolo malvagio. Per non confondere i segni, per ora lasciamo stare il meno e dividiamo semplicemente 2000 per 360. Otterremo 5 con la coda. Per ora non ci interessa la coda, la conteremo un po’ più tardi quando tireremo l’angolo. Contiamo cinque giri completi in gradi:
5 360° = 1800°
Oh. Questo è esattamente il numero di gradi in più che possiamo tranquillamente buttare fuori dal nostro angolo senza danneggiare la nostra salute.
Contiamo la coda rimanente:
2000° – 1800° = 200°
Ma ora possiamo ricordarci del meno.) Dove avvolgeremo la coda di 200°? Meno, ovviamente! Ci viene dato un angolo negativo.)
2000° = -1800° - 200°
Quindi disegniamo un angolo di -200°, solo senza giri aggiuntivi. L'ho appena disegnato, ma così sia, lo disegnerò ancora una volta. A mano.
È chiaro che l'angolo dato -2000°, così come -200°, rientra secondo quarto.
Quindi, diamo un po' di pazzia... scusate... in testa:
Se viene fornito un angolo negativo molto grande, la prima parte del lavoro con esso (trovare il numero di giri completi e scartarli) è la stessa di quando si lavora con un angolo positivo. Il segno meno non ha alcun ruolo in questa fase della soluzione. Il segno viene preso in considerazione solo alla fine, quando si lavora con l'angolo rimanente dopo aver rimosso i giri completi.
Come puoi vedere, disegnare angoli negativi su un cerchio non è più difficile di quelli positivi.
Tutto è uguale, solo nella direzione opposta! A ore!
Ora arriva la parte più interessante! Abbiamo esaminato angoli positivi, angoli negativi, angoli grandi, angoli piccoli: l'intera gamma. Abbiamo anche scoperto che qualsiasi punto su un cerchio può essere chiamato angolo positivo e negativo, abbiamo scartato le rivoluzioni complete... Qualche idea? Bisogna rimandare...
SÌ! Qualunque sia il punto del cerchio che prendi, corrisponderà numero infinito di angoli! Grandi e meno grandi, positivi e negativi: di tutti i tipi! E la differenza tra questi angoli sarà Totale numero di giri completi. Sempre! Così funziona il cerchio trigonometrico, sì...) Ecco perché inversione il compito è trovare l'angolo utilizzando il noto seno/coseno/tangente/cotangente - risolvibile ambiguo. E molto più difficile. A differenza del problema diretto: dato un angolo, trova l'intero insieme delle sue funzioni trigonometriche. E in argomenti più seri di trigonometria ( archi, trigonometrico equazioni E disuguaglianze ) incontreremo questo trucco continuamente. Ci stiamo abituando.)
1. In quale quarto cade l'angolo di -345°?
2. In quale quarto cade l'angolo 666°?
3. In quale quarto cade l'angolo 5555°?
4. In quale quarto cade l'angolo di -3700°?
5. Quale segno facos999°?
6. Quale segno factg999°?
E ha funzionato? Meraviglioso! C'è un problema? Allora lei.
Risposte:
1. 1
2. 4
3. 2
4. 3
5. "+"
6. "-"
Questa volta le risposte sono date in ordine, rompendo con la tradizione. Perché ci sono solo quattro quarti e ci sono solo due segni. Non scapperai davvero...)
Nella prossima lezione parleremo dei radianti, del misterioso numero "pi", impareremo come convertire facilmente e semplicemente i radianti in gradi e viceversa. E saremo sorpresi di scoprire che anche queste semplici conoscenze e abilità saranno sufficienti per risolvere con successo molti problemi di trigonometria non banali!
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Conteggio degli angoli su un cerchio trigonometrico.
Attenzione!
Ce ne sono altri
materiali della Parte Speciale 555.
Per coloro che sono molto "non molto..."
E per chi “tantissimo…”)
È quasi lo stesso della lezione precedente. Ci sono assi, un cerchio, un angolo, tutto è in ordine. Aggiunti numeri dei quarti (agli angoli del quadrato grande) - dal primo al quarto. E se qualcuno non lo sa? Come puoi vedere, i quarti (sono anche chiamati la bella parola "quadranti") sono numerati in senso antiorario. Aggiunti valori angolari sugli assi. Tutto è chiaro, nessun problema.
E viene aggiunta una freccia verde. Con un vantaggio. Cosa significa? Lascia che ti ricordi che il lato fisso dell'angolo Sempre inchiodato al semiasse positivo OX. Quindi, se ruotiamo il lato mobile dell'angolo lungo la freccia con un segno più, cioè. in ordine crescente di numeri dei quarti, l'angolo sarà considerato positivo. Ad esempio, l'immagine mostra un angolo positivo di +60°.
Se mettiamo da parte gli angoli nella direzione opposta, in senso orario, l'angolo sarà considerato negativo. Passa il cursore sull'immagine (o tocca l'immagine sul tablet), vedrai una freccia blu con un segno meno. Questa è la direzione della lettura dell'angolo negativo. Ad esempio, viene mostrato un angolo negativo (- 60°). E vedrai anche come sono cambiati i numeri sugli assi... Li ho anche convertiti in angoli negativi. La numerazione dei quadranti non cambia.
È qui che di solito iniziano i primi malintesi. Come mai!? Cosa succede se un angolo negativo su un cerchio coincide con uno positivo!? E in generale, si scopre che la stessa posizione del lato mobile (o punto sul cerchio numerico) può essere chiamata sia angolo negativo che positivo!?
SÌ. Esattamente. Diciamo che un angolo positivo di 90 gradi costituisce un cerchio esattamente la stessa posizione come un angolo negativo di meno 270 gradi. Un angolo positivo, ad esempio, vale +110° gradi esattamente la stessa posizione come angolo negativo -250°.
Nessun problema. Tutto è corretto.) La scelta del calcolo dell'angolo positivo o negativo dipende dalle condizioni dell'attività. Se la condizione non dice nulla in testo chiaro riguardo al segno dell'angolo, (come "determinare il più piccolo positivo angolo", ecc.), quindi lavoriamo con valori che sono convenienti per noi.
L'eccezione (come potremmo vivere senza di loro?!) sono le disuguaglianze trigonometriche, ma lì padroneggeremo questo trucco.
E ora una domanda per te. Come facevo a sapere che la posizione dell'angolo di 110° è la stessa della posizione dell'angolo di -250°?
Lasciatemi suggerire che questo è collegato con una rivoluzione completa. A 360°... Non è chiaro? Quindi disegniamo un cerchio. Lo disegniamo noi stessi, su carta. Segnare l'angolo circa 110°. E pensiamo, quanto tempo rimane fino a una rivoluzione completa. Rimarranno solo 250°...
Fatto? E ora - attenzione! Se gli angoli 110° e -250° occupano un cerchio Stesso
situazione, e allora? Sì, gli angoli sono 110° e -250° esattamente la stessa
seno, coseno, tangente e cotangente!
Quelli. sin110° = sin(-250°), ctg110° = ctg(-250°) e così via. Ora questo è davvero importante! E di per sé, ci sono molti compiti in cui è necessario semplificare le espressioni e come base per la successiva padronanza delle formule di riduzione e di altre complessità della trigonometria.
Naturalmente ho preso 110° e -250° a caso, a puro titolo di esempio. Tutte queste uguaglianze funzionano per qualsiasi angolo che occupa la stessa posizione sul cerchio. 60° e -300°, -75° e 285° e così via. Faccio subito notare che gli angoli in queste coppie sono: diverso. Ma hanno funzioni trigonometriche - lo stesso.
Penso che tu capisca cosa sono gli angoli negativi. È abbastanza semplice. In senso antiorario: conteggio positivo. Lungo la strada - negativo. Considera l'angolo positivo o negativo dipende da noi. Dal nostro desiderio. Bene, e anche dal compito, ovviamente... Spero che tu capisca come passare nelle funzioni trigonometriche dagli angoli negativi a quelli positivi e viceversa. Disegna un cerchio, un angolo approssimativo, e vedi quanto manca per completare un giro completo, cioè fino a 360°.
Angoli superiori a 360°.
Consideriamo gli angoli maggiori di 360°. Esistono cose del genere? Ci sono, ovviamente. Come disegnarli su un cerchio? Nessun problema! Diciamo che dobbiamo capire in quale quarto ricadrà un angolo di 1000°? Facilmente! Facciamo un giro completo in senso antiorario (l'angolo che ci è stato dato è positivo!). Abbiamo riavvolto a 360°. Bene, andiamo avanti! Ancora un giro: sono già 720°. Quanto resta? 280°. Non è sufficiente per un giro completo... Ma l'angolo è più di 270° - e questo è il confine tra il terzo e il quarto quarto. Pertanto il nostro angolo di 1000° rientra nel quarto quarto. Tutto.
Come puoi vedere, è abbastanza semplice. Vorrei ricordarvi ancora una volta che l'angolo di 1000° e l'angolo di 280°, che abbiamo ottenuto scartando i giri completi “extra”, sono, in senso stretto, diverso angoli. Ma le funzioni trigonometriche di questi angoli esattamente la stessa! Quelli. sin1000° = sin280°, cos1000° = cos280°, ecc. Se fossi un seno, non noterei la differenza tra questi due angoli...
Perché è necessario tutto questo? Perché dobbiamo convertire gli angoli dall'uno all'altro? Sì, tutti per la stessa cosa.) Per semplificare le espressioni. Semplificare le espressioni è, infatti, il compito principale della matematica scolastica. Bene, e lungo la strada la testa viene allenata.)
Bene, facciamo pratica?)
Rispondiamo alle domande. Prima quelli semplici.
1. In quale quarto cade l'angolo di -325°?
2. In quale quarto cade l'angolo di 3000°?
3. In quale quarto cade l'angolo -3000°?
C'è un problema? O incertezza? Vai alla Sezione 555, Pratica del cerchio trigonometrico. Lì, nella prima lezione di questo stesso “Lavoro pratico...” tutto è dettagliato... In come domande sull’incertezza dell’essere non dovrebbe!
4. Che segno ha sin555°?
5. Che segno ha tg555°?
Hai determinato? Grande! Hai qualche dubbio? Devi andare alla Sezione 555... A proposito, lì imparerai a disegnare tangente e cotangente su un cerchio trigonometrico. Una cosa molto utile.
E ora le domande sono più sofisticate.
6. Ridurre l'espressione sin777° al seno dell'angolo positivo più piccolo.
7. Ridurre l'espressione cos777° al coseno dell'angolo negativo più grande.
8. Ridurre l'espressione cos(-777°) al coseno del più piccolo angolo positivo.
9. Ridurre l'espressione sin777° al seno dell'angolo negativo più grande.
Cosa, le domande 6-9 ti hanno lasciato perplesso? Facci l'abitudine, all'Esame di Stato Unificato non trovi formulazioni del genere... Comunque sia, te lo traduco. Solo per te!
Le parole "portare un'espressione a..." significano trasformare l'espressione in modo che il suo significato non è cambiato e l'aspetto è cambiato in base al compito. Quindi, nei compiti 6 e 9 dobbiamo ottenere un seno, all'interno del quale c'è angolo positivo più piccolo. Tutto il resto non ha importanza.
Darò le risposte in ordine (in violazione delle nostre regole). Cosa fare, ci sono solo due segnali, e ci sono solo quattro quarti… Non avrai che l’imbarazzo della scelta.
6. peccato57°.
7. cos(-57°).
8. cos57°.
9. -peccato(-57°)
Presumo che le risposte alle domande 6-9 abbiano confuso alcune persone. Particolarmente -peccato(-57°), davvero?) In effetti, nelle regole elementari per il calcolo degli angoli c'è spazio per errori... Ecco perché ho dovuto fare una lezione: "Come determinare i segni delle funzioni e fornire gli angoli su un cerchio trigonometrico?" Nella Sezione 555. I compiti 4 - 9 sono trattati lì. Ben risolto, con tutte le insidie. E sono qui.)
Nella prossima lezione ci occuperemo dei misteriosi radianti e del numero "Pi". Impariamo come convertire facilmente e correttamente i gradi in radianti e viceversa. E saremo sorpresi di scoprire che queste informazioni di base sono presenti sul sito già abbastanza per risolvere alcuni problemi di trigonometria personalizzata!
Se ti piace questo sito...
A proposito, ho un paio di altri siti interessanti per te.)
Puoi esercitarti a risolvere esempi e scoprire il tuo livello. Test con verifica immediata. Impariamo - con interesse!)
Puoi familiarizzare con funzioni e derivate.
Alpha sta per numero reale. Il segno uguale nelle espressioni precedenti indica che se aggiungi un numero o un infinito all'infinito, non cambierà nulla, il risultato sarà lo stesso infinito. Se prendiamo come esempio l'insieme infinito dei numeri naturali, gli esempi considerati possono essere rappresentati nella seguente forma:
Per dimostrare chiaramente che avevano ragione, i matematici hanno escogitato molti metodi diversi. Personalmente, considero tutti questi metodi come sciamani che ballano con i tamburelli. In sostanza, tutto si riduce al fatto che alcune stanze non sono occupate e si trasferiscono nuovi ospiti, oppure che alcuni visitatori vengono gettati nel corridoio per fare posto agli ospiti (molto umanamente). Ho presentato il mio punto di vista su tali decisioni sotto forma di una storia fantasy sulla Bionda. Su cosa si basa il mio ragionamento? Lo spostamento di un numero infinito di visitatori richiede una quantità infinita di tempo. Dopo che abbiamo lasciato libera la prima stanza per un ospite, uno dei visitatori percorrerà sempre il corridoio dalla sua stanza a quella successiva fino alla fine del tempo. Naturalmente, il fattore tempo può essere stupidamente ignorato, ma questo rientra nella categoria “nessuna legge è scritta per gli sciocchi”. Tutto dipende da cosa stiamo facendo: adattare la realtà alle teorie matematiche o viceversa.
Cos’è un “hotel senza fine”? Un hotel infinito è un hotel che ha sempre un numero qualsiasi di letti vuoti, indipendentemente da quante stanze sono occupate. Se tutte le stanze dell'infinito corridoio "visitatori" sono occupate, c'è un altro corridoio infinito con le stanze "degli ospiti". Ci sarà un numero infinito di tali corridoi. Inoltre, l’“hotel infinito” ha un numero infinito di piani in un numero infinito di edifici su un numero infinito di pianeti in un numero infinito di universi creati da un numero infinito di Dei. I matematici non riescono a prendere le distanze dai banali problemi quotidiani: c'è sempre un solo Dio-Allah-Buddha, c'è un solo albergo, c'è un solo corridoio. Così i matematici stanno cercando di destreggiarsi tra i numeri seriali delle camere d’albergo, convincendoci che è possibile “inserire l’impossibile”.
Ti dimostrerò la logica del mio ragionamento usando l'esempio di un insieme infinito di numeri naturali. Per prima cosa devi rispondere a una domanda molto semplice: quanti insiemi di numeri naturali ci sono: uno o molti? Non esiste una risposta corretta a questa domanda, poiché i numeri li abbiamo inventati noi stessi; i numeri non esistono in Natura. Sì, la Natura è bravissima a contare, ma per questo utilizza altri strumenti matematici che non ci sono familiari. Quello che pensa la Natura ti dirò un’altra volta. Dato che abbiamo inventato i numeri, saremo noi a decidere quanti insiemi di numeri naturali esistono. Consideriamo entrambe le opzioni, come si addice ai veri scienziati.
Opzione uno. “Diamoci” un unico insieme di numeri naturali, che giace serenamente sullo scaffale. Prendiamo questo set dallo scaffale. Questo è tutto, non ci sono altri numeri naturali rimasti sullo scaffale e nessun posto dove portarli. Non possiamo aggiungerne uno a questo set, poiché lo abbiamo già. E se lo volessi davvero? Nessun problema. Possiamo prenderne uno dal set che abbiamo già preso e rimetterlo sullo scaffale. Dopodiché possiamo prenderne uno dallo scaffale e aggiungerlo a ciò che ci è rimasto. Di conseguenza, otterremo nuovamente un insieme infinito di numeri naturali. Puoi scrivere tutte le nostre manipolazioni in questo modo:
Ho scritto le azioni in notazione algebrica e in notazione della teoria degli insiemi, con un elenco dettagliato degli elementi dell'insieme. Il pedice indica che abbiamo un solo ed unico insieme di numeri naturali. Si scopre che l'insieme dei numeri naturali rimarrà invariato solo se ne viene sottratto uno e viene aggiunta la stessa unità.
Opzione due. Abbiamo molti diversi insiemi infiniti di numeri naturali sul nostro scaffale. Sottolineo: DIVERSI, nonostante siano praticamente indistinguibili. Prendiamo uno di questi set. Quindi ne prendiamo uno da un altro insieme di numeri naturali e lo aggiungiamo all'insieme che abbiamo già preso. Possiamo anche sommare due insiemi di numeri naturali. Questo è ciò che otteniamo:
I pedici "uno" e "due" indicano che questi elementi appartenevano a insiemi diversi. Sì, se aggiungi uno a un insieme infinito, anche il risultato sarà un insieme infinito, ma non sarà uguale all'insieme originale. Se aggiungi un altro insieme infinito a un insieme infinito, il risultato è un nuovo insieme infinito costituito dagli elementi dei primi due insiemi.
L'insieme dei numeri naturali viene utilizzato per contare allo stesso modo di un righello per misurare. Ora immagina di aver aggiunto un centimetro al righello. Questa sarà una linea diversa, non uguale a quella originale.
Puoi accettare o meno il mio ragionamento: sono affari tuoi. Ma se mai dovessi incontrare problemi matematici, pensa se stai seguendo il percorso del falso ragionamento percorso da generazioni di matematici. Dopotutto, lo studio della matematica, prima di tutto, forma in noi uno stereotipo stabile del pensiero e solo allora aumenta le nostre capacità mentali (o, al contrario, ci priva della libertà di pensiero).
Domenica 4 agosto 2019
Stavo finendo il post scriptum di un articolo sull'argomento e ho visto questo meraviglioso testo su Wikipedia:
Leggiamo: "... la ricca base teorica della matematica di Babilonia non aveva un carattere olistico e si riduceva a un insieme di tecniche disparate, prive di un sistema comune e di una base di prove".
Oh! Quanto siamo intelligenti e quanto bene riusciamo a vedere i difetti degli altri. È difficile per noi guardare alla matematica moderna nello stesso contesto? Parafrasando leggermente il testo sopra, personalmente ho ottenuto quanto segue:
La ricca base teorica della matematica moderna non è di natura olistica ed è ridotta a un insieme di sezioni disparate, prive di un sistema comune e di una base di prove.
Non andrò lontano per confermare le mie parole: ha un linguaggio e convenzioni diverse dal linguaggio e dalle convenzioni di molti altri rami della matematica. Gli stessi nomi in diversi rami della matematica possono avere significati diversi. Voglio dedicare tutta una serie di pubblicazioni agli errori più evidenti della matematica moderna. Arrivederci.
Sabato 3 agosto 2019
Come dividere un insieme in sottoinsiemi? Per fare ciò è necessario inserire una nuova unità di misura che è presente in alcuni elementi dell'insieme selezionato. Diamo un'occhiata a un esempio.
Possiamo averne in abbondanza UN composto da quattro persone. Questo insieme è formato sulla base delle “persone”. Indichiamo gli elementi di questo insieme con la lettera UN, il pedice con un numero indicherà il numero di serie di ciascuna persona in questo set. Introduciamo una nuova unità di misura "genere" e denotiamola con la lettera B. Poiché le caratteristiche sessuali sono inerenti a tutte le persone, moltiplichiamo ogni elemento dell'insieme UN in base al genere B. Si noti che il nostro insieme di “persone” è ora diventato un insieme di “persone con caratteristiche di genere”. Successivamente possiamo dividere i caratteri sessuali in maschili bm e quello delle donne peso corporeo caratteristiche sessuali. Ora possiamo applicare un filtro matematico: selezioniamo una di queste caratteristiche sessuali, non importa quale sia maschile o femminile. Se una persona ce l'ha, lo moltiplichiamo per uno, se non esiste un segno del genere, lo moltiplichiamo per zero. E poi usiamo la matematica scolastica regolare. Guarda cosa è successo.
Dopo la moltiplicazione, la riduzione e la riorganizzazione, ci siamo ritrovati con due sottoinsiemi: il sottoinsieme degli uomini Bm e un sottoinsieme di donne Bw. I matematici ragionano più o meno allo stesso modo quando applicano la teoria degli insiemi nella pratica. Ma non ci dicono i dettagli, ma ci danno il risultato finale: “molte persone sono costituite da un sottoinsieme di uomini e un sottoinsieme di donne”. Naturalmente potresti avere una domanda: come è stata applicata correttamente la matematica nelle trasformazioni sopra descritte? Oserei assicurarti che, in sostanza, le trasformazioni sono state eseguite correttamente; è sufficiente conoscere le basi matematiche dell'aritmetica, dell'algebra booleana e di altri rami della matematica. Cos'è? Un'altra volta ti parlerò di questo.
Per quanto riguarda i superset, puoi unire due insiemi in un unico superset selezionando l'unità di misura presente negli elementi di questi due insiemi.
Come puoi vedere, le unità di misura e la matematica ordinaria rendono la teoria degli insiemi una reliquia del passato. Un segno che non tutto va bene con la teoria degli insiemi è che i matematici hanno escogitato un proprio linguaggio e una propria notazione per la teoria degli insiemi. I matematici agivano come un tempo facevano gli sciamani. Solo gli sciamani sanno come applicare “correttamente” la loro “conoscenza”. Ci insegnano questa “conoscenza”.
In conclusione, voglio mostrarti come i matematici manipolano i dati .
Lunedì 7 gennaio 2019
Nel V secolo a.C., l'antico filosofo greco Zenone di Elea formulò le sue famose aporie, la più famosa delle quali è l'aporia “Achille e la Tartaruga”. Ecco come sembra:
Diciamo che Achille corre dieci volte più veloce della tartaruga ed è mille passi indietro. Durante il tempo impiegato da Achille per percorrere questa distanza, la tartaruga farà cento passi nella stessa direzione. Quando Achille fa cento passi, la tartaruga striscia altri dieci passi e così via. Il processo continuerà all'infinito, Achille non raggiungerà mai la tartaruga.
Questo ragionamento divenne uno shock logico per tutte le generazioni successive. Aristotele, Diogene, Kant, Hegel, Hilbert... Tutti consideravano, in un modo o nell'altro, l'aporia di Zenone. Lo shock è stato così forte che" ... le discussioni continuano ancora oggi; la comunità scientifica non è ancora riuscita a raggiungere un'opinione comune sull'essenza dei paradossi ... analisi matematica, teoria degli insiemi, nuovi approcci fisici e filosofici sono stati coinvolti nello studio della questione ; nessuno di loro è diventato una soluzione generalmente accettata al problema..."[Wikipedia, "L'Aporia di Zeno". Tutti capiscono di essere ingannati, ma nessuno capisce in cosa consiste l'inganno.
Da un punto di vista matematico Zenone nella sua aporia dimostrò chiaramente il passaggio dalla quantità a . Questa transizione implica applicazioni anziché permanenti. Per quanto ho capito, l'apparato matematico per l'utilizzo di unità di misura variabili non è stato ancora sviluppato, oppure non è stato applicato all'aporia di Zenone. Applicare la nostra solita logica ci porta in una trappola. Noi, a causa dell'inerzia del pensiero, applichiamo unità di tempo costanti al valore reciproco. Da un punto di vista fisico, sembra che il tempo rallenti fino a fermarsi completamente nel momento in cui Achille raggiunge la tartaruga. Se il tempo si ferma, Achille non può più correre più veloce della tartaruga.
Se capovolgiamo la nostra solita logica, tutto va a posto. Achille corre a velocità costante. Ogni segmento successivo del suo percorso è dieci volte più breve del precedente. Di conseguenza, il tempo impiegato per superarlo è dieci volte inferiore a quello precedente. Se applichiamo il concetto di “infinito” a questa situazione, allora sarebbe corretto dire “Achille raggiungerà la tartaruga con una rapidità infinita”.
Come evitare questa trappola logica? Rimanere in unità di tempo costanti e non passare a unità reciproche. Nel linguaggio di Zenone appare così:
Nel tempo impiegato da Achille per percorrere mille passi, la tartaruga ne farà cento nella stessa direzione. Durante il successivo intervallo di tempo uguale al primo, Achille percorrerà altri mille passi e la tartaruga ne farà cento. Adesso Achille è ottocento passi avanti alla tartaruga.
Questo approccio descrive adeguatamente la realtà senza paradossi logici. Ma questa non è una soluzione completa al problema. L’affermazione di Einstein sull’irresistibilità della velocità della luce è molto simile all’aporia di Zenone “Achille e la tartaruga”. Dobbiamo ancora studiare, ripensare e risolvere questo problema. E la soluzione va cercata non nei numeri infinitamente grandi, ma nelle unità di misura.
Un'altra interessante aporia di Zenone racconta di una freccia volante:
Una freccia volante è immobile, poiché in ogni momento è a riposo, e poiché è a riposo in ogni momento, è sempre a riposo.
In questa aporia, il paradosso logico viene superato in modo molto semplice: è sufficiente chiarire che in ogni momento una freccia volante è ferma in diversi punti dello spazio, il che, in effetti, è movimento. Qui occorre notare un altro punto. Da una fotografia di un'auto sulla strada è impossibile determinare né il fatto del suo movimento né la distanza da essa. Per determinare se un'auto si sta muovendo, sono necessarie due fotografie scattate dallo stesso punto in momenti diversi nel tempo, ma non è possibile determinare la distanza da esse. Per determinare la distanza da un'auto, sono necessarie due fotografie scattate da diversi punti nello spazio in un determinato momento, ma da esse non è possibile determinare il fatto del movimento (ovviamente, hai ancora bisogno di dati aggiuntivi per i calcoli, la trigonometria ti aiuterà ). Ciò su cui voglio attirare l'attenzione in particolare è che due punti nel tempo e due punti nello spazio sono cose diverse che non devono essere confuse, perché offrono diverse opportunità di ricerca.
Mercoledì 4 luglio 2018
Vi ho già detto con l'aiuto di cui gli sciamani cercano di ordinare la "" realtà. Come fanno? Come avviene concretamente la formazione di un insieme?
Diamo uno sguardo più da vicino alla definizione di insieme: "un insieme di elementi diversi, concepiti come un unico insieme". Ora senti la differenza tra due frasi: “concepibile nel suo insieme” e “concepibile nel suo insieme”. La prima frase è il risultato finale, il set. La seconda frase è una preparazione preliminare alla formazione di una moltitudine. In questa fase la realtà viene divisa in singoli elementi (il “tutto”), da cui si formerà poi una moltitudine (il “tutto unico”). Allo stesso tempo, il fattore che consente di combinare il “tutto” in un “tutto unico” viene attentamente monitorato, altrimenti gli sciamani non ci riusciranno. Dopotutto, gli sciamani sanno in anticipo esattamente quale set vogliono mostrarci.
Ti mostrerò il procedimento con un esempio. Selezioniamo il "rosso solido in un brufolo": questo è il nostro "tutto". Allo stesso tempo vediamo che queste cose sono con arco e ce ne sono senza arco. Successivamente, selezioniamo parte del "tutto" e formiamo un set "con un arco". Questo è il modo in cui gli sciamani si procurano il cibo legando la loro teoria degli insiemi alla realtà.
Adesso facciamo un piccolo trucchetto. Prendiamo “solido con un brufolo con un fiocco” e combiniamo questi “interi” in base al colore, selezionando gli elementi rossi. Abbiamo molto "rosso". Ora la domanda finale: i set risultanti “con fiocco” e “rosso” sono lo stesso set o due set diversi? Solo gli sciamani conoscono la risposta. Più precisamente, loro stessi non sanno nulla, ma come dicono, così sarà.
Questo semplice esempio mostra che la teoria degli insiemi è completamente inutile quando si tratta di realtà. Qual è il segreto? Abbiamo formato un set di "solido rosso con un brufolo e un fiocco". La formazione avveniva in quattro diverse unità di misura: colore (rosso), forza (solido), rugosità (brufoloso), decorazione (con fiocco). Solo un insieme di unità di misura permette di descrivere adeguatamente gli oggetti reali nel linguaggio della matematica. Questo è quello che sembra.
La lettera "a" con indici diversi indica diverse unità di misura. Tra parentesi sono evidenziate le unità di misura con cui si distingue il “tutto” in fase preliminare. Tra parentesi è indicata l'unità di misura con cui è formato l'insieme. L'ultima riga mostra il risultato finale: un elemento del set. Come puoi vedere, se utilizziamo unità di misura per formare un insieme, il risultato non dipende dall'ordine delle nostre azioni. E questa è matematica, e non la danza degli sciamani con i tamburelli. Gli sciamani possono “intuitivamente” arrivare allo stesso risultato, sostenendo che è “ovvio”, perché le unità di misura non fanno parte del loro arsenale “scientifico”.
Utilizzando le unità di misura, è molto semplice dividere un set o combinare più set in un unico superset. Diamo uno sguardo più da vicino all'algebra di questo processo.
Sabato 30 giugno 2018
Se i matematici non riescono a ridurre un concetto ad altri concetti, allora non capiscono nulla della matematica. Rispondo: in cosa differiscono gli elementi di un insieme dagli elementi di un altro insieme? La risposta è molto semplice: numeri e unità di misura.
Oggi tutto ciò che non prendiamo appartiene a un insieme (come ci assicurano i matematici). A proposito, hai visto nello specchio sulla tua fronte un elenco di quei set a cui appartieni? E non ho visto un elenco del genere. Dirò di più: in realtà nessuna cosa ha un tag con l'elenco dei set a cui appartiene questa cosa. I set sono tutte invenzioni degli sciamani. Come lo fanno? Diamo un'occhiata un po' più in profondità nella storia e vediamo come apparivano gli elementi del set prima che gli sciamani matematici li portassero nei loro set.
Molto tempo fa, quando nessuno aveva mai sentito parlare di matematica, e solo gli alberi e Saturno avevano anelli, enormi branchi di elementi selvaggi di insiemi vagavano per i campi fisici (dopo tutto, gli sciamani non avevano ancora inventato i campi matematici). Sembravano qualcosa del genere.
Sì, non sorprenderti, dal punto di vista matematico, tutti gli elementi degli insiemi sono molto simili ai ricci di mare: da un punto, come gli aghi, le unità di misura sporgono in tutte le direzioni. Per coloro che lo fanno, ricordo che qualsiasi unità di misura può essere rappresentata geometricamente come un segmento di lunghezza arbitraria e un numero come un punto. Dal punto di vista geometrico, qualsiasi quantità può essere rappresentata come un insieme di segmenti che sporgono in direzioni diverse da un punto. Questo punto è il punto zero. Non disegnerò questo pezzo di arte geometrica (nessuna ispirazione), ma puoi facilmente immaginarlo.
Quali unità di misura costituiscono un elemento di un insieme? Tutti i tipi di cose che descrivono un dato elemento da diversi punti di vista. Queste sono antiche unità di misura utilizzate dai nostri antenati e di cui tutti si sono dimenticati da tempo. Queste sono le moderne unità di misura che usiamo ora. Anche queste sono unità di misura a noi sconosciute, che i nostri discendenti inventeranno e che utilizzeranno per descrivere la realtà.
Abbiamo risolto la geometria: il modello proposto degli elementi del set ha una chiara rappresentazione geometrica. E la fisica? Le unità di misura sono il collegamento diretto tra matematica e fisica. Se gli sciamani non riconoscono le unità di misura come elemento a pieno titolo delle teorie matematiche, questo è un loro problema. Personalmente non riesco a immaginare la vera scienza della matematica senza unità di misura. Ecco perché all'inizio del racconto sulla teoria degli insiemi ho parlato dell'età della pietra.
Ma passiamo alla cosa più interessante: l'algebra degli elementi degli insiemi. Algebricamente, qualsiasi elemento di un insieme è un prodotto (il risultato della moltiplicazione) di quantità diverse.
Non ho deliberatamente utilizzato le convenzioni della teoria degli insiemi, poiché stiamo considerando un elemento di un insieme nel suo ambiente naturale prima dell'emergere della teoria degli insiemi. Ciascuna coppia di lettere tra parentesi indica una quantità separata, costituita da un numero indicato dalla lettera " N" e l'unità di misura indicata dalla lettera " UN". Gli indici accanto alle lettere indicano che i numeri e le unità di misura sono diversi. Un elemento dell'insieme può essere costituito da un numero infinito di quantità (quanto noi e i nostri discendenti abbiamo abbastanza immaginazione). Ogni parentesi è geometricamente raffigurata come un segmento separato Nell'esempio con il riccio di mare una parentesi è un ago.
In che modo gli sciamani formano insiemi di diversi elementi? Anzi, per unità di misura o per numeri. Non capendo nulla di matematica, prendono diversi ricci di mare e li esaminano attentamente alla ricerca di quell'unico ago, lungo il quale formano un insieme. Se esiste un ago del genere, allora questo elemento appartiene all'insieme; se non esiste, allora questo elemento non appartiene a questo insieme. Gli sciamani ci raccontano favole sui processi mentali e tutto il resto.
Come avrai intuito, lo stesso elemento può appartenere a insiemi molto diversi. Successivamente ti mostrerò come si formano insiemi, sottoinsiemi e altre sciocchezze sciamaniche. Come puoi vedere, “non possono esserci due elementi identici in un insieme”, ma se ci sono elementi identici in un insieme, tale insieme è chiamato “multiinsieme”. Gli esseri ragionevoli non capiranno mai una logica così assurda. Questo è il livello dei pappagalli parlanti e delle scimmie ammaestrate, che non hanno intelligenza dalla parola “completamente”. I matematici agiscono come normali formatori, predicandoci le loro idee assurde.
C'era una volta, gli ingegneri che costruirono il ponte erano su una barca sotto il ponte mentre testavano il ponte. Se il ponte crollasse, il mediocre ingegnere morirebbe sotto le macerie della sua creazione. Se il ponte potesse sopportare il carico, il talentuoso ingegnere costruì altri ponti.
Non importa come i matematici si nascondano dietro la frase “attenzione, sono in casa”, o meglio, “la matematica studia concetti astratti”, c’è un cordone ombelicale che li collega indissolubilmente alla realtà. Questo cordone ombelicale è il denaro. Applichiamo la teoria matematica degli insiemi ai matematici stessi.
Abbiamo studiato molto bene la matematica e ora siamo seduti alla cassa a distribuire gli stipendi. Quindi un matematico viene da noi per i suoi soldi. Gli contiamo l'intero importo e lo disponiamo sul nostro tavolo in pile diverse, nelle quali mettiamo banconote dello stesso taglio. Poi prendiamo una banconota da ogni pila e diamo al matematico il suo “stipendio matematico”. Spieghiamo al matematico che riceverà le restanti fatture solo quando dimostrerà che un insieme senza elementi identici non è uguale a un insieme con elementi identici. È qui che inizia il divertimento.
Innanzitutto funzionerà la logica dei deputati: “Questo può essere applicato agli altri, ma non a me!” Poi inizieranno a rassicurarci che le banconote dello stesso taglio hanno numeri di banconota diversi, il che significa che non possono essere considerate gli stessi elementi. Ok, contiamo gli stipendi in monete: non ci sono numeri sulle monete. Qui il matematico inizierà a ricordare freneticamente la fisica: monete diverse hanno quantità diverse di sporco, la struttura cristallina e la disposizione degli atomi è unica per ogni moneta...
E ora mi sorge la domanda più interessante: dov'è la linea oltre la quale gli elementi di un multiinsieme si trasformano in elementi di un insieme e viceversa? Una linea del genere non esiste: tutto è deciso dagli sciamani, la scienza non è nemmeno vicina a mentire qui.
Guarda qui. Selezioniamo stadi di calcio con la stessa superficie di campo. Le aree dei campi sono le stesse, il che significa che abbiamo un multiset. Ma se guardiamo i nomi di questi stessi stadi, ne otteniamo tanti, perché i nomi sono diversi. Come puoi vedere, lo stesso insieme di elementi è sia un insieme che un multiinsieme. Che è corretto? E qui il matematico-sciamano-tagliente tira fuori dalla manica un asso di briscola e comincia a parlarci di un set o di un multiset. In ogni caso ci convincerà che ha ragione.
Per capire come operano gli sciamani moderni con la teoria degli insiemi, legandola alla realtà, è sufficiente rispondere a una domanda: in che modo gli elementi di un insieme differiscono dagli elementi di un altro insieme? Te lo mostrerò senza alcun "concepibile come non un tutto unico" o "non concepibile come un tutto unico".
